Questão 3
Vamos considerar dois patinadores sobre uma pista de patinação no gelo. Após a colisão, eles ficam abraçados. Um dos patinadores possui uma massa de 80 kg e o outro 60 kg . O patinador que tem 80 kg , antes da colisão, se movimenta da esquerda para a direita com velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, enquanto o outro, se movimenta da direita para a esquerda com velocidade de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Qual é a energia cinética inicial desses patinadores imediatamente antes da colisão?
b) Qual é a energia cinética final desses patinadores logo após a colisão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) A energia cinética inicial dos dois patinadores imediatamente antes da colisão.
b) A energia cinética final dos dois patinadores logo após a colisão (eles ficam abraçados).
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
m_1 = 80\\ \text{kg},\qquad v_1 = 2,5\\ \text{m/s}\\ (\text{da esquerda para a direita})
m_2 = 60\\ \text{kg},\qquad v_2 = 3,0\\ \text{m/s}\\ (\text{da direita para a esquerda})
Vou adotar a convenção de sinais: direção para a direita é positiva. Portanto \,v_2 = -3,0\\ \text{m/s}.

Passo 2

Conceito e fórmula da energia cinética (aula rápida e prática).
A energia cinética de um corpo de massa m que se move com velocidade v é dada por:
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde:
  • K é a energia cinética em joules ( \text{J}),
  • m é a massa em quilogramas ( \text{kg}),
  • v é a velocidade em metros por segundo ( \text{m/s}),
  • v^{2} significa que usamos a velocidade ao quadrado (portanto o sinal da velocidade não importa para K).
Vamos calcular a energia cinética de cada patinador antes da colisão.
Para o patinador 1 ( m_1=80\\ \text{kg}, v_1=2,5\\ \text{m/s}):
K_1 = \tfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 80\cdot (2,5)^{2}.
Calcule passo a passo:
(2,5)^{2}=6,25,
\tfrac{1}{2}\cdot 80 = 40,
K_1 = 40\cdot 6,25 = 250\\ \text{J}.
Para o patinador 2 ( m_2=60\\ \text{kg}, |v_2|=3,0\\ \text{m/s}):
K_2 = \tfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot (3,0)^{2}.
Calcule passo a passo:
(3,0)^{2}=9,0,
\tfrac{1}{2}\cdot 60 = 30,
K_2 = 30\cdot 9,0 = 270\\ \text{J}.
A energia cinética total inicial é a soma:
K_{\text{inicial}} = K_1 + K_2 = 250 + 270 = 520\\ \text{J}.

Passo 3

Agora precisamos da energia cinética logo após a colisão. Como os patinadores ficam abraçados, trata-se de uma colisão perfeitamente inelástica. Em colisões desse tipo a energia cinética não é conservada, mas o momento linear total sí (em ausência de forças externas) é conservado. Vou usar essa conservação para achar a velocidade comum imediatamente após a colisão.
Definição de momento linear (lembrete):
p = m v,
e a conservação do momento para os dois antes e depois da colisão é:
p_{\text{inicial}} = p_{\text{final}}.
Calcule o momento inicial:
p_{\text{inicial}} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 80\cdot 2,5 + 60\cdot(-3,0).
Compute:
80\cdot 2,5 = 200,
60\cdot(-3,0) = -180,
p_{\text{inicial}} = 200 - 180 = 20\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
Massa combinada após a colisão:
M = m_1 + m_2 = 80 + 60 = 140\\ \text{kg}.
Velocidade comum após a colisão ( v_f):
v_f = \frac{p_{\text{inicial}}}{M} = \frac{20}{140} = \frac{1}{7}\\ \text{m/s} \approx 0,142857\\ \text{m/s}.
O sinal é positivo, ou seja, o conjunto se move para a direita.

Passo 4

Agora calculamos a energia cinética final do conjunto com massa M e velocidade v_f. Usamos a mesma fórmula:
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}\,M\,v_{f}^{2}.
Como v_f=\tfrac{1}{7}, podemos usar isso exatamente:
v_{f}^{2} = \left(\tfrac{1}{7}\right)^{2} = \tfrac{1}{49}.
Então
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}\cdot 140 \cdot \tfrac{1}{49}.
Calcule:
\tfrac{1}{2}\cdot 140 = 70,
K_{\text{final}} = 70\cdot \tfrac{1}{49} = \tfrac{70}{49} = \tfrac{10}{7}\\ \text{J} \approx 1,428571\\ \text{J}.
Comentário motivador: percebemos que a energia cinética final é muito menor que a inicial ( 520\\ \text{J}); a diferença foi dissipada (calor, som, deformação, etc.) na colisão inelástica — isso é normal e esperado.

Resposta

K_{\text{inicial}} = 520\\ \text{J}
K_{\text{final}} = \dfrac{10}{7}\\ \text{J} \approx 1{,}4286\\ \text{J}

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