Questão 2 O futebol é um esporte em que é muito comum o contato físico e as colisões são muitas vezes inevitáveis. Durante uma dessas partidas de futebol, um zagueiro de 80 kg , tenta interceptar o avanço de um atacante de massa 100 kg . Imediatamente antes de colidirem, o zagueiro se movimentava de oeste para leste com velocidade de 7,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o atacante com velocidade de 8,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de sul para norte.
a) Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual o zagueiro e o atacante se movem unidos após a colisão?
b) Qual é a energia cinética inicial e final da colisão? Houve conservação da energia cinética? Qual foi a variação da energia cinética?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados: m_1 = 80\\ \mathrm{kg}\quad\text{(zagueiro)},\qquad \vec v_1 = 7{,}3\\ \mathrm{m/s}\\ \text{para leste}
m_2 = 100\\ \mathrm{kg}\quad\text{(atacante)},\qquad \vec v_2 = 8{,}5\\ \mathrm{m/s}\\ \text{para norte}
Eles ficam unidos após a colisão (colisão completamente inelástica).
  • Perguntas:
    (a) Qual a velocidade (módulo, direção e sentido) do conjunto após a colisão?
    (b) Quais são as energias cinéticas inicial e final da colisão? A energia cinética foi conservada? Qual a variação da energia cinética?
Observação: a partir daqui vou usar um sistema de eixos cartesianox–y com x positivo para leste e y positivo para norte.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Conservação do momento linear vetorial: para um sistema isolado, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. Isso vale mesmo que os corpos grudem.
  • Definição de momento linear: para um corpo de massa m e velocidade \vec v, o momento é \vec p = m\vec v.
  • Como trabalhamos com vetores perpendiculares, é conveniente decompor o momento nas componentes x e y e aplicar conservação componente a componente: p_{x,\text{inicial}} = p_{x,\text{final}},\qquad p_{y,\text{inicial}} = p_{y,\text{final}}.

Passo 3

Calcular as componentes do momento inicial (a partir dos dados do Passo 1):
  • Componente x (leste-oeste):
    p_x = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = 80\cdot 7{,}3 + 100\cdot 0 = 584\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
    (Aqui peguei v_{1x}=7{,}3\\ \mathrm{m/s} da parte do enunciado que diz que o zagueiro vai de oeste para leste e v_{2x}=0 porque o atacante não tem componente leste-oeste.)
  • Componente y (norte-sul):
    p_y = m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = 80\cdot 0 + 100\cdot 8{,}5 = 850\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
    (Aqui usei v_{2y}=8{,}5\\ \mathrm{m/s} do enunciado.)

Passo 4

Velocidade do conjunto após a colisão (usar conservação do momento):
  • Massa total: M = m_1 + m_2 = 80 + 100 = 180\\ \mathrm{kg}.
  • Componentes da velocidade final \vec v_f=(v_{fx},v_{fy}): v_{fx} = \frac{p_x}{M} = \frac{584}{180}=3{,}244444\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}24\\ \mathrm{m/s},
v_{fy} = \frac{p_y}{M} = \frac{850}{180}=4{,}722222\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 4{,}72\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: dividimos cada componente do momento pela massa total para obter a componente da velocidade final.

Passo 5

Módulo da velocidade final (usar Pitágoras, pois v_{fx} e v_{fy} são perpendiculares):
v_f = \sqrt{v_{fx}^2+v_{fy}^2}.
Substituindo os valores:
v_f = \sqrt{\left(\frac{584}{180}\right)^2+\left(\frac{850}{180}\right)^2} = \frac{\sqrt{584^2+850^2}}{180} \approx 5{,}73\\ \mathrm{m/s}.
(Detalhe numérico: 584^2+850^2=1\,063\,556 e \sqrt{1\,063\,556}\approx 1\,031{,}29, dividido por 180 \approx 5{,}7294. Arredondei para 5{,}73\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 6

Direção e sentido da velocidade final:
  • Ângulo \theta medido a partir do leste (eixo x) em direção ao norte (eixo y): \theta = \arctan\!\left(\frac{v_{fy}}{v_{fx}}\right)=\arctan\!\left(\frac{850/180}{584/180}\right)=\arctan\!\left(\frac{850}{584}\right).Calculando: \frac{850}{584}\approx 1{,}45548\quad\Rightarrow\quad \theta\approx 55{,}5^\circ.
  • Sentido: para nordeste (isto é, com componente para leste e para norte). Em linguagem do enunciado: 55{,}5^\circ ao norte do leste.

Passo 7

Energia cinética: definição e cálculo inicial
  • Fórmula: para um corpo de massa m e velocidade v, a energia cinética é K = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Energia cinética inicial total (soma das duas energias): K_{\text{inicial}} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2.Calculemos: \tfrac{1}{2}\cdot 80\cdot 7{,}3^2 = 40\cdot 53{,}29 = 2131{,}6\\ \mathrm{J},
\tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot 8{,}5^2 = 50\cdot 72{,}25 = 3612{,}5\\ \mathrm{J}.
Então
K_{\text{inicial}} = 2131{,}6 + 3612{,}5 = 5744{,}1\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Energia cinética final e vantagem do uso do momento:
  • Energia cinética final do conjunto (massa M e velocidade v_f): K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2} M v_f^2.
  • Usando as componentes do momento, há uma forma conveniente: K_{\text{final}} = \frac{p_x^2+p_y^2}{2M},porque p_x^2+p_y^2 = |\vec p|^2 = (Mv_f)^2.
  • Substituindo os valores já calculados: K_{\text{final}} = \frac{584^2+850^2}{2\cdot 180} = \frac{1\,063\,556}{360}\approx 2954{,}322\\ \mathrm{J}.Arredondando para duas casas decimais: 2954{,}32\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Comparação, conservação e variação da energia cinética:
  • Comparação numérica: K_{\text{inicial}} = 5744{,}1\\ \mathrm{J},\qquad K_{\text{final}} \approx 2954{,}32\\ \mathrm{J}.
  • Conclusão sobre conservação: a energia cinética não foi conservada — ela diminuiu. Isso é esperado porque a colisão é perfeitamente inelástica (os corpos grudam) e parte da energia cinética é transformada em deformação, calor, som etc.
  • Variação da energia cinética: \Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}\approx 2954{,}32-5744{,}1=-2789{,}78\\ \mathrm{J}.Ou seja, houve uma perda de aproximadamente 2789{,}78\\ \mathrm{J} de energia cinética.

Resposta

(a) v_f\approx 5{,}73\\ \mathrm{m/s}, direção 55{,}5^\circ ao norte do leste (sentido nordeste).
(b) K_{\text{inicial}}=5744{,}1\\ \mathrm{J}; K_{\text{final}}\approx 2954{,}32\\ \mathrm{J}; não houve conservação da energia cinética; \Delta K\approx -2789{,}78\\ \mathrm{J}.

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