Questão 2 O futebol é um esporte em que é muito comum o contato físico e as colisões são muitas vezes inevitáveis. Durante uma dessas partidas de futebol, um zagueiro de 80 kg , tenta interceptar o avanço de um atacante de massa 100 kg . Imediatamente antes de colidirem, o zagueiro se movimentava de oeste para leste com velocidade de
e o atacante com velocidade de
de sul para norte.
a) Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual o zagueiro e o atacante se movem unidos após a colisão?
b) Qual é a energia cinética inicial e final da colisão? Houve conservação da energia cinética? Qual foi a variação da energia cinética?
a) Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual o zagueiro e o atacante se movem unidos após a colisão?
b) Qual é a energia cinética inicial e final da colisão? Houve conservação da energia cinética? Qual foi a variação da energia cinética?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados:
Eles ficam unidos após a colisão (colisão completamente inelástica).
- Perguntas:
(a) Qual a velocidade (módulo, direção e sentido) do conjunto após a colisão?
(b) Quais são as energias cinéticas inicial e final da colisão? A energia cinética foi conservada? Qual a variação da energia cinética?
Observação: a partir daqui vou usar um sistema de eixos cartesianox–y com
positivo para leste e
positivo para norte.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- Conservação do momento linear vetorial: para um sistema isolado, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. Isso vale mesmo que os corpos grudem.
- Definição de momento linear: para um corpo de massa
e velocidade , o momento é . - Como trabalhamos com vetores perpendiculares, é conveniente decompor o momento nas componentes
e e aplicar conservação componente a componente:
Passo 3
Calcular as componentes do momento inicial (a partir dos dados do Passo 1):
-
Componente
(leste-oeste): (Aqui pegueida parte do enunciado que diz que o zagueiro vai de oeste para leste e porque o atacante não tem componente leste-oeste.) -
Componente
(norte-sul): (Aqui useido enunciado.)
Passo 4
Velocidade do conjunto após a colisão (usar conservação do momento):
- Massa total:
- Componentes da velocidade final
:
Expliquei: dividimos cada componente do momento pela massa total para obter a componente da velocidade final.
Passo 5
Módulo da velocidade final (usar Pitágoras, pois
e
são perpendiculares):
Substituindo os valores:
(Detalhe numérico:
e
, dividido por
dá
. Arredondei para
.)
Passo 6
Direção e sentido da velocidade final:
- Ângulo
medido a partir do leste (eixo ) em direção ao norte (eixo ): Calculando: - Sentido: para nordeste (isto é, com componente para leste e para norte). Em linguagem do enunciado:
ao norte do leste.
Passo 7
Energia cinética: definição e cálculo inicial
- Fórmula: para um corpo de massa
e velocidade , a energia cinética é - Energia cinética inicial total (soma das duas energias):
Calculemos:
Então
Passo 8
Energia cinética final e vantagem do uso do momento:
- Energia cinética final do conjunto (massa
e velocidade ): - Usando as componentes do momento, há uma forma conveniente:
porque . - Substituindo os valores já calculados:
Arredondando para duas casas decimais: .
Passo 9
Comparação, conservação e variação da energia cinética:
- Comparação numérica:
- Conclusão sobre conservação: a energia cinética não foi conservada — ela diminuiu. Isso é esperado porque a colisão é perfeitamente inelástica (os corpos grudam) e parte da energia cinética é transformada em deformação, calor, som etc.
- Variação da energia cinética:
Ou seja, houve uma perda de aproximadamente de energia cinética.
Resposta
(a)
, direção
ao norte do leste (sentido nordeste).
(b) ;
; não houve conservação da energia cinética;
.
(b)