(a) Sabendo que a dilatação de uma barra linear é dada por \Delta L=L \alpha \Delta T, onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear, mostre que o coeficiente de dilatação volumétrico em um cubo de volume L^{3} é \beta=3 \alpha. De fato, esse coeficiente pode ser aplicado não só para um cubo, mas para qualquer volume. (b) Determine a variação de volume de uma esfera de alumínio com um raio inicial de 10 cm quando a esfera é aquecida de 0,0^{\circ} \mathrm{C} para 100^{\circ} \mathrm{C}. Use \Delta V=V \beta \Delta T, sabendo que o coeficiente de dilatação linear do alumínio é 23 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata de dilatação térmica linear e volumétrica. Na parte (a) queremos deduzir que, para um cubo de lado L, o coeficiente de dilatação volumétrico \beta satisfaz \beta=3\alpha, onde \alpha é o coeficiente linear. Na parte (b) vamos usar \Delta V = V\,\beta\,\Delta T para calcular quanto varia o volume de uma esfera de alumínio de raio inicial 10,cm ao aquecer de 0{,}0\,^{\circ}\text{C} a 100\,^{\circ}\text{C}, sabendo que \alpha=23\times10^{-6}/^{\circ}\text{C}.

Passo 2

Para o cubo de lado L, o volume inicial é
V = L^3.
Ao subir a temperatura em \Delta T, cada aresta aumenta para
L' = L + \Delta L = L\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
Logo o novo volume é
V' = (L')^3 = L^3\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^3.
Como \alpha\,\Delta T é muito pequeno, expandimos até a primeira ordem:
\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^3 \approx 1 + 3\,\alpha\,\Delta T.

Passo 3

A variação de volume \Delta V fica
\Delta V = V' - V \approx L^3\bigl(1 + 3\alpha\,\Delta T\bigr) - L^3 = 3\,\alpha\,V\,\Delta T.
Comparando com \Delta V = V\,\beta\,\Delta T, concluímos
\beta = 3\,\alpha.

Passo 4

Agora, para a esfera de alumínio, o volume inicial é
V_0 = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3
com r=10,cm, ou seja
V_0 = \frac{4}{3}\,\pi\,(10)^3 = \frac{4000}{3}\,\pi\\ \text{cm}^3.
Temos \alpha=23\times10^{-6}/^{\circ}\text{C}, logo
\beta = 3\,\alpha = 69\times10^{-6}/^{\circ}\text{C}.

Passo 5

A variação de volume ao aquecer \Delta T = 100\,^\circ\text{C} vale
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T = \frac{4000}{3}\,\pi \;\times\;69\times10^{-6}\;\times\;100.
Calculando em ordem:
69\times10^{-6}\times100 = 6{,}9\times10^{-3},
\frac{4000}{3}\times6{,}9\times10^{-3} = 9{,}2,
então
\Delta V = 9{,}2\,\pi\\ \text{cm}^3 \approx 28{,}9\\ \text{cm}^3.

Resposta

(a) \beta = 3\,\alpha.
(b) \Delta V \approx 28{,}9\\ \text{cm}^3.

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