(a) Sabendo que a dilatação de uma barra linear é dada por
, onde
é o coeficiente de dilatação linear, mostre que o coeficiente de dilatação volumétrico em um cubo de volume
é
. De fato, esse coeficiente pode ser aplicado não só para um cubo, mas para qualquer volume. (b) Determine a variação de volume de uma esfera de alumínio com um raio inicial de 10 cm quando a esfera é aquecida de
para
. Use
, sabendo que o coeficiente de dilatação linear do alumínio é
.
Passo 1
O enunciado trata de dilatação térmica linear e volumétrica. Na parte (a) queremos deduzir que, para um cubo de lado
, o coeficiente de dilatação volumétrico
satisfaz
, onde
é o coeficiente linear. Na parte (b) vamos usar
para calcular quanto varia o volume de uma esfera de alumínio de raio inicial
,cm ao aquecer de
a
, sabendo que
.
Passo 2
Para o cubo de lado
, o volume inicial é
Ao subir a temperatura em
, cada aresta aumenta para
Logo o novo volume é
Como
é muito pequeno, expandimos até a primeira ordem:
Passo 3
A variação de volume
fica
Comparando com
, concluímos
Passo 4
Agora, para a esfera de alumínio, o volume inicial é
com
,cm, ou seja
Temos
, logo
Passo 5
A variação de volume ao aquecer
vale
Calculando em ordem:
então
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)