Uma barra (1) metálica com 60 cm de comprimento se expande de 0,085 \mathrm{~cm} quando sua temperatura varia de 0^{\circ} \mathrm{C} até 100^{\circ} \mathrm{C}. Uma segunda barra (2), feita de outro metal, com 60 cm de comprimento se expande de 0,045 \mathrm{~cm} para a mesma variação de temperatura. Uma terceira barra, também com 60 cm de comprimento, feita pela junçāo de dois pedaços das barras acima conectados pelas extremidades, expande-se de \mathbf{0 , 0 6 5} \mathbf{~ c m} para a mesma variação de temperatura.
Qual o coeficiente de dilatação linear da barra 1 e da barra 2?
b) (1,0) Calcule o comprimento do pedaço da barra 1 e da barra 2 que formam a barra composta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas barras metálicas de comprimento inicial L=60\;\mathrm{cm} e variação de temperatura \Delta T=100\;^\circ\mathrm{C}. A barra 1 expande-se \Delta L_1=0,085\;\mathrm{cm} e a barra 2 expande-se \Delta L_2=0,045\;\mathrm{cm}. Vamos usar a fórmula da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\,L\,\Delta T
para encontrar \alpha_1 e \alpha_2. Depois, para a barra composta de mesmo comprimento total 60\;\mathrm{cm}, formada por um pedaço da barra 1 de comprimento x ligado a um pedaço da barra 2 de comprimento 60 - x, usaremos a soma das dilatações:
\Delta L_{\mathrm{comp}} = \alpha_1\,x\,\Delta T \;+\;\alpha_2\,(60 - x)\,\Delta T
sabendo que \Delta L_{\mathrm{comp}}=0,065\;\mathrm{cm}.

Passo 2

Aplicando \Delta L = \alpha\,L\,\Delta T para a barra 1 e a barra 2, temos:
\alpha_1 = \frac{\Delta L_1}{L\,\Delta T} = \frac{0,085}{60 \times 100} = 1{,}4167\times 10^{-5}\;^\circ\mathrm{C}^{-1},
\alpha_2 = \frac{\Delta L_2}{L\,\Delta T} = \frac{0,045}{60 \times 100} = 7{,}5\times 10^{-6}\;^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 3

Para a barra composta, seja x (em cm) o comprimento do pedaço vindo da barra 1 e 60 - x o pedaço da barra 2. A dilatação total é
\Delta L_{\mathrm{comp}} = (\alpha_1\,x + \alpha_2\,(60 - x))\,\Delta T =0,065\;\mathrm{cm}.
Dividindo ambos os lados por \Delta T=100, obtemos a equação
\alpha_1\,x + \alpha_2\,(60 - x) = \frac{0,065}{100} = 0,00065.

Passo 4

Substituindo \alpha_1=1{,}4167\times 10^{-5} e \alpha_2=7{,}5\times 10^{-6}:
(1{,}4167\times 10^{-5})\,x + (7{,}5\times 10^{-6})\,(60 - x) = 0,00065.
Isso dá
(1{,}4167-0{,}75)\times 10^{-5}\,x + 60\,(7{,}5\times 10^{-6}) = 0,00065 \quad\Longrightarrow\quad 6{,}6667\times10^{-6}\,x + 0{,}00045 = 0{,}00065,
6{,}6667\times10^{-6}\,x = 0{,}00020 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{0,00020}{6{,}6667\times10^{-6}} = 30\;\mathrm{cm}.
Portanto o outro pedaço tem 60 - x = 30\;\mathrm{cm}.

Resposta

a) \alpha_1 = 1{,}4167\times10^{-5}\;^\circ\mathrm{C}^{-1},\quad \alpha_2 = 7{,}5\times10^{-6}\;^\circ\mathrm{C}^{-1}.
b) Cada pedaço mede 30\;\mathrm{cm}: 30\;\mathrm{cm} da barra 1 e 30\;\mathrm{cm} da barra 2.

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