Sabendo que
[ll a+2 b & 2 a-b 2 c+d & c-2 d ]=[ll 4 & -2 4 & -3 ],
encontre os valores de a, b, c e d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma igualdade entre duas matrizes e pede para encontrar os valores de a, b, c e d . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente igualdade de matrizes. Para resolver isso, vamos comparar os elementos correspondentes das duas matrizes e montar um sistema de equações para encontrar os valores desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes:
a + 2b & 2a - b 2c + d & c - 2d = 4 & -2 4 & -3
A ideia é que cada elemento na matriz da esquerda deve ser igual ao elemento correspondente na matriz da direita.

Passo 3

Vamos comparar os elementos posição por posição e formar equações:
  1. Elemento (1,1): a + 2b = 4
  2. Elemento (1,2): 2a - b = -2
  3. Elemento (2,1): 2c + d = 4
  4. Elemento (2,2): c - 2d = -3
Agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver o primeiro par de equações para a e b :
  1. a + 2b = 4  →  Equação (1)
  2. 2a - b = -2  →  Equação (2)
Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Multiplicamos a Equação (1) por 2:
2a + 4b = 8  →  Equação (1a)
Agora, subtraímos a Equação (2) da Equação (1a):
(2a + 4b) - (2a - b) = 8 - (-2)
Simplificando:
5b = 10
Então:
b = 2

Passo 5

Agora que encontramos b = 2 , vamos substituir esse valor na Equação (1) para encontrar a :
a + 2(2) = 4
a + 4 = 4
a = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver o segundo par de equações para c e d :
  1. 2c + d = 4  →  Equação (3)
  2. c - 2d = -3  →  Equação (4)
Novamente, vamos usar o método de eliminação.
Multiplicamos a Equação (4) por 2:
2c - 4d = -6  →  Equação (4a)
Agora, subtraímos a Equação (3) da Equação (4a):
(2c - 4d) - (2c + d) = -6 - 4
Simplificando:
-5d = -10
Então:
d = 2

Passo 7

Com d = 2 , vamos substituir na Equação (3) para encontrar c :
2c + 2 = 4
2c = 2
c = 1

Resposta

Os valores são:
a = 0, b = 2, c = 1, d = 2

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