Sabendo que a equação característica da EDO de 2^{\circ} Ordem a seguir tem o \Delta<0, determine sua solução geral:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0
e informa que a equação característica associada tem \Delta<0. A tarefa é determinar a solução geral dessa equação diferencial. Informações dadas importantes:
A EDO é homogênea e linear de segunda ordem.
A equação característica tem discriminante negativo (\Delta<0).
Queremos a solução geral y(x).
Passo 2
Método inicial (tentativa de solução do tipo exponencial). É padrão tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo). Calculamos as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
r^{2}-2r+5=0.
Passo 3
Cálculo do discriminante da quadrática. Para uma quadrática \,a r^{2}+b r+c=0, o discriminante é dado por
\Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=1, b=-2, c=5. Portanto
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta=-16<0, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 4
Encontrando as raízes complexas usando a fórmula quadrática:
Interpretação das raízes complexas. Quando as raízes da característica são da forma \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), temos \alpha=1 e \beta=2 no nosso caso. A solução complexa associada é
pela fórmula de Euler. Como a EDO tem coeficientes reais, as partes real e imaginária dessa solução complexa são soluções reais independentes. Assim dois soluções reais fundamentais são
Verificação de independência linear (curto argumento). Podemos calcular o Wronskiano de y_{1} e y_{2}. Com y_{1}=e^{\alpha x}\cos(\beta x) e y_{2}=e^{\alpha x}\sin(\beta x) obtemos, após derivar,
Como \beta=2\neq0, então W\neq0 para todo x, o que garante que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam uma base de soluções reais da EDO.]
Passo 7
Construção da solução geral. A solução geral da EDO é a combinação linear das duas soluções fundamentais reais, com constantes reais C_{1} e C_{2}. Substituindo \alpha=1 e \beta=2 obtemos a solução geral:
y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Isso é a resposta final.