Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da EDO de 2^{\circ} Ordem dada por:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - y' - 2y = 3x^{2} + x
e pede: encontrar a solução geral dessa EDO. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação é linear, não-homogênea, de coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,3x^{2}+x.
    A partir disso, precisamos obter a solução geral y(x), que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y'' - y' - 2y = 0.
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^{2} - r - 2 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar fórmula de Bhaskara. Fatorando:
r^{2}-r-2=(r-2)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=-1. Cada raiz real distinta gera uma solução exponencial independente. Logo a solução complementar (solução da homogênea), que chamaremos de y_{c}(x), é:
y_{c}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Ideia do método (explicação didática):
  • Se o lado direito for uma função simples (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses), tentamos como y_{p} uma combinação da mesma forma, com coeficientes desconhecidos.
  • Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos um polinômio de grau 2:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são coeficientes a determinar.
  • Importante: se alguma das partes do palpite for solução da homogênea (por exemplo se e^{0x}=1 aparecesse e r=0 fosse raiz da característica), precisaríamos multiplicar o palpite por potências de x. Aqui as raízes da homogênea são 2 e -1, que não coincidem com polinômios, então o palpite acima é adequado sem multiplicação por x.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} (passo a passo):
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
y_{p}'(x)=2Ax+B,
y_{p}''(x)=2A.
Agora substituímos essas expressões em \,y''-y'-2y e igualamos ao lado direito \,3x^{2}+x.

Passo 5

Substituição e agrupamento por potências de x:
y_{p}''-y_{p}'-2y_{p} = 2A - (2Ax+B) - 2(Ax^{2}+Bx+C).
Vamos expandir termo a termo:
  • O termo com x^{2} vem só de -2(Ax^{2}), ou seja -2A x^{2}.
  • O termo com x vem de -(2Ax) e de -2(Bx), somando para (-2A-2B)x.
  • O termo constante vem de 2A, de -B (de -(B)) e de -2C: total 2A - B - 2C.
Portanto obtemos a igualdade de polinômios
-2A\,x^{2} + (-2A-2B)\,x + (2A - B - 2C) = 3x^{2} + x.

Passo 6

Igualando coeficientes de iguais potências de x (método padrão para polinômios iguais):
  • Coeficiente de x^{2}:
-2A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{3}{2}.
  • Coeficiente de x:
-2A - 2B = 1.
Substituindo A=-\tfrac{3}{2}:
-2\left(-\tfrac{3}{2}\right) - 2B = 1 \quad\Rightarrow\quad 3 - 2B = 1 \quad\Rightarrow\quad -2B = -2 \quad\Rightarrow\quad B = 1.
  • Coeficiente constante:
2A - B - 2C = 0.
Substituindo A=-\tfrac{3}{2} e B=1:
2\left(-\tfrac{3}{2}\right) - 1 - 2C = 0 \quad\Rightarrow\quad -3 - 1 - 2C = 0 \quad\Rightarrow\quad -4 - 2C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -2.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x) = -\tfrac{3}{2}x^{2} + x - 2.
A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x} - \tfrac{3}{2}x^{2} + x - 2.
Se quiser conferir rapidamente: substituir essa y na equação devolve 3x^{2}+x, o que confirma que está correta.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{3}{2}x^{2}+x-2

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