Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da EDO de
Ordem dada por:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede: encontrar a solução geral dessa EDO. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação é linear, não-homogênea, de coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
.
A partir disso, precisamos obter a solução geral, que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação polinomial em
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar fórmula de Bhaskara. Fatorando:
portanto as raízes são
e
. Cada raiz real distinta gera uma solução exponencial independente. Logo a solução complementar (solução da homogênea), que chamaremos de
, é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Ideia do método (explicação didática):
- Se o lado direito for uma função simples (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses), tentamos como
uma combinação da mesma forma, com coeficientes desconhecidos. - Como o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos um polinômio de grau :
onde
são coeficientes a determinar.
- Importante: se alguma das partes do palpite for solução da homogênea (por exemplo se
aparecesse e fosse raiz da característica), precisaríamos multiplicar o palpite por potências de . Aqui as raízes da homogênea são e , que não coincidem com polinômios, então o palpite acima é adequado sem multiplicação por .
Passo 4
Calcular as derivadas de
(passo a passo):
Agora substituímos essas expressões em
e igualamos ao lado direito
.
Passo 5
Substituição e agrupamento por potências de
:
Vamos expandir termo a termo:
- O termo com
vem só de , ou seja . - O termo com
vem de e de , somando para . - O termo constante vem de
, de (de ) e de : total .
Portanto obtemos a igualdade de polinômios
Passo 6
Igualando coeficientes de iguais potências de
(método padrão para polinômios iguais):
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
:
- Coeficiente constante:
Substituindo
e
:
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
Se quiser conferir rapidamente: substituir essa
na equação devolve
, o que confirma que está correta.