Sabendo que a equação m x^{2}+(2 m+5) x+(m+3)=0 não possui raízes reais em x, determine os possíveis valores da constante m.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação quadrática em x
m x^{2} + (2m+5)x + (m+3) = 0,
e pede os valores de m tais que essa equação não possui raízes reais em x.
Informações extraídas do enunciado:
  • Coeficiente quadrático: a = m.
  • Coeficiente linear: b = 2m+5.
  • Termo constante: c = m+3.
O que queremos: o conjunto de valores de m para os quais a equação não tem soluções reais.

Passo 2

Primeiro devo tratar o caso degenerado a=0, ou seja m=0. Se m=0 a equação deixa de ser quadrática e vira uma equação linear:
5x+3=0.
Essa equação linear tem a solução real
x = -\frac{3}{5}.
Logo, para m=0 a equação possui raiz real. Portanto m=0 não pertence ao conjunto procurado.

Passo 3

Para m\neq 0 a equação é uma quadrática propriamente dita. Lembrete útil (aula rápida): uma equação quadrática
a x^{2} + b x + c = 0
tem raízes reais se, e somente se, o discriminante
\Delta = b^{2} - 4ac
satisfaz \Delta \ge 0. Portanto, para que a quadrática NÃO tenha raízes reais é necessário e suficiente que
\Delta < 0.
Aqui a=m, b=2m+5 e c=m+3.

Passo 4

Calcular o discriminante substituindo os coeficientes:
\Delta = (2m+5)^{2} - 4\cdot m \cdot (m+3).
Faço a expansão passo a passo:
(2m+5)^{2} = 4m^{2} + 20m + 25,
4\cdot m \cdot (m+3) = 4m^{2} + 12m.
Subtraindo:
\Delta = (4m^{2} + 20m + 25) - (4m^{2} + 12m) = 8m + 25.

Passo 5

Exigimos \Delta < 0. Assim:
8m + 25 < 0.
Isolando m:
8m < -25 \quad\Rightarrow\quad m < -\frac{25}{8}.
Note que essa condição implica m\neq 0 (pois -\tfrac{25}{8}<0), portanto estamos dentro do caso quadrático tratado; o caso linear m=0 já foi excluído.

Passo 6

Conclusão: a equação não possui raízes reais exatamente quando m satisfaz
m < -\frac{25}{8}.

Resposta

m < -\dfrac{25}{8}

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