Explique o que é o teste de Bera-Jarque, no que é baseado, qual sua interpretação e cite uma utilidade prática.

Passo 1

O teste de Bera–Jarque é um procedimento estatístico para verificar se uma amostra de dados pode ser considerada proveniente de uma distribuição normal. O conteúdo da matéria é Testes de Adesão (Goodness‐of‐Fit) e vamos precisar conhecer as definições de assimetria (skewness) e curtose (kurtosis) amostrais.

Passo 2

A base do teste está em quantificar o quanto a assimetria e a curtose da amostra se desviam dos valores esperados sob normalidade, que são 0 para a assimetria e 3 para a curtose. Dados n observações, definimos
S = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^3}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2\right)^{3/2}} \quad\text{e}\quad K = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^4}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2\right)^{2}}.
A estatística de Bera–Jarque é
\mathrm{JB} = \frac{n}{6}\Bigl(S^2 + \tfrac{(K-3)^2}{4}\Bigr).

Passo 3

Sob a hipótese nula de normalidade, \mathrm{JB} converge em distribuição a \chi^2 com 2 graus de liberdade. A interpretação é:
  • Se \mathrm{JB} \le \chi^2_{1-\alpha,\,2}, não rejeitamos a normalidade ao nível \alpha.
  • Se \mathrm{JB} > \chi^2_{1-\alpha,\,2}, rejeitamos a normalidade, pois há evidência de assimetria ou curtose anômalas.

Passo 4

Uma utilidade prática clássica é em econometria: ao ajustar um modelo de regressão linear, verifica‐se a normalidade dos resíduos pelo teste de Bera–Jarque antes de aplicar inferência, pois muitas estatísticas (como testes t e F) pressupõem erros normalmente distribuídos.

Resposta

O teste de Bera–Jarque é um teste de aderência à normalidade baseado em assimetria e curtose amostrais. Sua estatística
\mathrm{JB} = \frac{n}{6}\Bigl(S^2 + \tfrac{(K-3)^2}{4}\Bigr)
segue aproximadamente \chi^2_2 sob H_0. Valores altos de \mathrm{JB} levam à rejeição de H_0, indicando falta de normalidade. Na prática, usa‐se, por exemplo, para checar a normalidade de resíduos em regressão antes de realizar testes paramétricos.

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