Sabendo que f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo -3 \leq x \leq 2 e que satisfazem as equações \int_{-3}^{2} f(x) d x=5, \int_{-3}^{2} g(x) d x=-2, \int_{-3}^{1} f(x) d x=0 e \int_{-3}^{1} g(x) d x=4
Encontre o valor de:
\int_{2}^{-3} f(x) d x

Passo 1

O enunciado dá várias integrais definidas envolvendo f e g no intervalo [-3,2]. Vou listar só o que é relevante para a pergunta que me foi feita (peguei estes valores do enunciado):
  • \displaystyle \int_{-3}^{2} f(x)\,dx = 5.
  • A pergunta pede: calcular \displaystyle \int_{2}^{-3} f(x)\,dx.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade básica e muito útil de integrais definidas (a parte teórica que precisa saber para a prova).
Propriedade (inversão dos limites): para qualquer função integrável h em um intervalo que contenha a e b,
\int_{a}^{b} h(x)\,dx = -\int_{b}^{a} h(x)\,dx.
Explicação simples e intuitiva: a integral \int_{a}^{b} h mede a “área dirigida” de a até b. Se você percorre o caminho no sentido contrário (de b para a), o sinal dessa área se inverte. Uma demonstração curta usando aditividade é:
\int_{a}^{b} h(x)\,dx + \int_{b}^{a} h(x)\,dx = \int_{a}^{a} h(x)\,dx = 0,
logo \int_{b}^{a} h(x)\,dx = -\int_{a}^{b} h(x)\,dx.
Também é bom saber que continuidade (aqui dada para f) garante que a integral definida exista, então podemos aplicar a propriedade sem problemas.

Passo 3

Aplicando a propriedade de inversão de limites ao nosso caso com h=f, a=-3 e b=2, temos:
\int_{2}^{-3} f(x)\,dx = -\int_{-3}^{2} f(x)\,dx.
Substituindo o valor que o enunciado forneceu:
\int_{2}^{-3} f(x)\,dx = -5.

Resposta

-5

Exercícios relacionados