Sabendo que
e
são funções contínuas no intervalo
e que satisfazem as equações
,
e
Encontre o valor de:
Encontre o valor de:
Passo 1
O enunciado dá várias integrais definidas envolvendo
e
no intervalo
. Vou listar só o que é relevante para a pergunta que me foi feita (peguei estes valores do enunciado):
-
. - A pergunta pede: calcular
.
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade básica e muito útil de integrais definidas (a parte teórica que precisa saber para a prova).
Propriedade (inversão dos limites): para qualquer função integrável
em um intervalo que contenha
e
,
Explicação simples e intuitiva: a integral
mede a “área dirigida” de
até
. Se você percorre o caminho no sentido contrário (de
para
), o sinal dessa área se inverte. Uma demonstração curta usando aditividade é:
logo
.
Também é bom saber que continuidade (aqui dada para
) garante que a integral definida exista, então podemos aplicar a propriedade sem problemas.
Passo 3
Aplicando a propriedade de inversão de limites ao nosso caso com
,
e
, temos:
Substituindo o valor que o enunciado forneceu: