Sabendo a força de Coulomb atrativa entre um par de íons \mathrm{Mg}^{2+} e \mathrm{S}^{2-} é de 1,49^{*} 10^{-8} \mathrm{~N} e que o raio ânion \mathrm{S}^{2-} é de 0,184 \mathrm{~nm}, calcule o valor do raio iônico do cátion \mathrm{Mg}^{2+}, em nanômetros.
Consiere: \mathrm{K}=9 * 10^{9} \mathrm{~V} . \mathrm{m} / \mathrm{C}

Passo 1

Dados que o enunciado fornece e o que é pedido:
  • Força de Coulomb entre os íons: \,F = 1{,}49\times 10^{-8}\\ \mathrm{N}.
  • Raio do ânion \mathrm{S}^{2-}: \,r_{\mathrm{S}^{2-}} = 0{,}184\\ \mathrm{nm}.
  • Constante de Coulomb (fornecida): \,K = 9\times 10^{9}\\ \mathrm{V\cdot m / C}.
  • Íons envolvidos: \mathrm{Mg}^{2+} e \mathrm{S}^{2-}.
    Portanto as cargas têm magnitude 2 vezes a carga elementar cada uma (sinais opostos), ou seja produtos das magnitudes: 2e\cdot 2e = 4e^{2}.
  • Valor da carga elementar (constante física que usarei): \,e = 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O que se pede:
  • Calcular o raio iônico do cátion \mathrm{Mg}^{2+}, isto é \,r_{\mathrm{Mg}^{2+}}, em nanômetros.
Observação útil que vem do problema (sem resolver ainda): a separação entre os centros dos íons é a soma dos raios:
r_{\text{total}} = r_{\mathrm{Mg}^{2+}} + r_{\mathrm{S}^{2-}}.

Passo 2

Fórmula que relaciona força elétrica e separação (lei de Coulomb) e explicação das variáveis:
F = K\frac{|q_1 q_2|}{r_{\text{total}}^{2}}.
Aqui:
  • \,F é a força elétrica (em newtons),
  • \,K é a constante de Coulomb (aqui dada como 9\times10^{9} em unidades compatíveis),
  • \,q_1 e \,q_2 são as cargas das partículas (em coulombs),
  • \,r_{\text{total}} é a distância entre os centros (em metros).
Queremos isolar \,r_{\text{total}}. Reorganizando a fórmula:
r_{\text{total}} = \sqrt{\dfrac{K\,|q_1 q_2|}{F}}.
No nosso caso |q_1 q_2| = 4e^{2} porque cada íon tem carga de magnitude 2e.

Passo 3

Calcular numericamente o numerador K\cdot 4e^{2}.
Primeiro calcular e^{2}:
e^{2} = (1{,}602\times 10^{-19})^{2} = 2{,}5664\times 10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
Multiplicando por 4:
4e^{2} = 4 \times 2{,}5664\times 10^{-38} = 1{,}02656\times 10^{-37}\\ \mathrm{C^{2}}.
Agora multiplicar por K=9\times 10^{9}:
K\cdot 4e^{2} = 9\times 10^{9}\times 1{,}02656\times 10^{-37} = 9{,}23904\times 10^{-28}\\ \mathrm{(unidade\\ compatível)}.í

Passo 4

Dividir pelo valor da força para obter o radicando:
\dfrac{K\cdot 4e^{2}}{F} = \dfrac{9{,}23904\times 10^{-28}}{1{,}49\times 10^{-8}}.
Calcule a divisão dos coeficientes e ajuste a potência de 10:
\dfrac{9{,}23904}{1{,}49} \approx 6{,}20271, \qquad 10^{-28}\div 10^{-8} = 10^{-20}.
Portanto
\dfrac{K\cdot 4e^{2}}{F} \approx 6{,}20271\times 10^{-20}.

Passo 5

Tirar a raiz quadrada para obter r_{\text{total}}:
r_{\text{total}} = \sqrt{6{,}20271\times 10^{-20}} = \sqrt{6{,}20271}\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Calcule \sqrt{6{,}20271}:
\sqrt{6{,}20271}\approx 2{,}49053.
Logo
r_{\text{total}} \approx 2{,}49053\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Converter metros para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m} = 10^{9}\\ \mathrm{nm}):
r_{\text{total}} \approx 2{,}49053\times 10^{-10}\times 10^{9}\\ \mathrm{nm} = 0{,}249053\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Encontrar o raio do cátion subtraindo o raio do ânion:
r_{\mathrm{Mg}^{2+}} = r_{\text{total}} - r_{\mathrm{S}^{2-}}.
Substituindo os valores (ambos em nm):
r_{\mathrm{Mg}^{2+}} \approx 0{,}249053\\ \mathrm{nm} - 0{,}184\\ \mathrm{nm} = 0{,}065053\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos (3 algarismos significativos):
r_{\mathrm{Mg}^{2+}} \approx 0{,}0651\\ \mathrm{nm}.

Resposta

0{,}0651 nm

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