Sabendo que a força de tração no cabo A B é de 570 N , determine o momento, em relação a cada um dos eixos coordenados, da força aplicada no ponto B da placa.

Passo 1

Vamos determinar o momento da força no cabo AB de intensidade F=570 N em relação aos eixos fixados em O. O sistema de eixos está assim orientado:
– o eixo x sai de O em direção a B (eixo “para a frente” sobre a placa),
– o eixo y é vertical para cima,
– o eixo z é perpendicular ao plano x\!y, positivo “para dentro” da placa.
O ponto de aplicação da força é B, que pertence ao eixo x, de modo que
\mathbf r_B=(x_B,\,0,\,0)\,.
A força em B está dirigida ao longo do cabo BA, de modo que
\mathbf F=570\;\hat{\mathbf u}_{BA},
onde \hat{\mathbf u}_{BA} é o versor de B para A.
Precisaremos:
  1. As coordenadas de B (isto é o valor de x_B),
  2. As coordenadas de A,
  3. O vetor \mathbf{BA} e seu módulo para obter \hat{\mathbf u}_{BA},
  4. O produto vetorial
\mathbf M_O=\mathbf r_B\times\mathbf F.

Passo 2

Coordenadas de B e A (em metros) a partir de O:
B está sobre o eixo x a uma distância igual à profundidade da placa. Pela figura, essa distância é de 920 mm, ou seja
\mathbf r_B=(0{,}920,\,0,\,0)\;\text{m}.
A fica acima da placa uma altura 360 mm e “para dentro” em projeção sobre a placa está alinhado com o ponto C. Como C está na reta z=0 sob A? Na verdade, observa‐se na figura que a projeção de A no plano da placa cai no ponto C, que dista de O em z exatamente 600 mm. Logo
\mathbf r_A=(0,\,0{,}360,\,0{,}600)\;\text{m}.

Passo 3

Formamos o vetor \mathbf{BA}=\mathbf r_A-\mathbf r_B:
\mathbf{BA} =\bigl(0-0{,}920,\;0{,}360-0,\;0{,}600-0\bigr) =(-0{,}920,\;0{,}360,\;0{,}600)\;\text{m}.
O módulo de \mathbf{BA} é
\|\mathbf{BA}\| =\sqrt{(-0{,}920)^2+(0{,}360)^2+(0{,}600)^2} =\sqrt{0{,}8464+0{,}1296+0{,}3600} =\sqrt{1{,}3360} \approx1{,}1568\;\text{m}.
Logo o versor
\hat{\mathbf u}_{BA} =\frac{\mathbf{BA}}{\|\mathbf{BA}\|} \approx(-0{,}7958,\;0{,}3114,\;0{,}5188).

Passo 4

Componentes da força \mathbf F=570\,\hat{\mathbf u}_{BA}:
\mathbf F \approx570\,(-0{,}7958,\;0{,}3114,\;0{,}5188) \approx(-454{,}0,\;177{,}7,\;295{,}0)\;\text{N}.

Passo 5

Agora calculamos o momento em O:
\mathbf M_O =\mathbf r_B\times\mathbf F =(0{,}920,\,0,\,0)\times(-454{,}0,\;177{,}7,\;295{,}0).
Fazendo o determinante,
\mathbf M_O =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 0{,}920 & 0 & 0\\\\ -454{,}0 & 177{,}7 & 295{,}0 \end{vmatrix} =\bigl(0,\; -\,\bigl(0{,}920\cdot295{,}0-0\cdot(-454{,}0)\bigr),\; 0{,}920\cdot177{,}7-0\cdot(-454{,}0)\bigr).
Logo
M_x=0, \quad M_y=-\bigl(0{,}920\times295{,}0\bigr)\approx-271{,}4\;\text{N\cdotm}, \quad M_z=0{,}920\times177{,}7\approx163{,}5\;\text{N\cdotm}.

Resposta

Em relação aos eixos em O (sinal positivo segundo o sistema de eixos adotado): M_x=0,\quad M_y\approx -271{,}4\;\mathrm{N\cdot m},\quad M_z\approx+163{,}5\;\mathrm{N\cdot m}.

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