Calcule a integral indefinida:
7. \int \operatorname{sen}(\omega t+\theta) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(\omega t + \theta)\,dt.
O conteúdo principal aqui é integração de uma função composta e vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \omega t + \theta,
de modo que
du = \omega\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{du}{\omega}.

Passo 3

Substituindo em \int \sin(\omega t + \theta)\,dt obtemos
\int \sin(u)\,\frac{du}{\omega} = \frac{1}{\omega}\,\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u),
concluímos
\frac{1}{\omega}\,\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{\omega}\,\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original t, substituímos u = \omega t + \theta e escrevemos a constante de integração:

Resposta

-\frac{1}{\omega}\,\cos(\omega t + \theta) + C.

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