Sabendo que
Lf(t)=F(s)=integral0^+infty f(t) e^-s t d t
e que
L^-1F(s)=sumzk Res[F(s) e^s t, zk],
onde zk são todos os pólos de F(s), use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere a e b constantes reais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=1(s+1)(s-2)^2 usando o método dos resíduos, ou seja, f(t)=L^-1F(s)=sumzkRes[F(s)e^st,zk]. Vamos precisar dos polos de F(s) e da fórmula de resíduo para polos simples e duplos.

Passo 2

Primeiro identificamos os polos de F(s)e^st. Eles coincidem com os de F(s): um polo simples em s=-1 e um polo duplo em s=2.

Passo 3

Para o polo simples s=-1, usamos Res[F(s)e^st,-1]=limsto -1(s+1)e^st(s+1)(s-2)^2=e^-t(-1-2)^2=e^-t9.

Passo 4

Para o polo duplo s=2, empregamos Res[G(s),2]=limsto2ddsl[(s-2)^2G(s)r] com G(s)=F(s)e^st=e^st(s+1)(s-2)^2. Calculamos
(s-2)^2G(s)=e^sts+1,
e então
ddse^sts+1=t,e^st(s+1)-e^st(s+1)^2=e^stt(s+1)-1(s+1)^2
Avaliar em s=2
$$\operatorname{Res}[F(s)e{st},2]=e{2t}\frac{3t-1}{32}=\frac{e{2t}(3t-1)}{9}.
$$

Passo 5

Somando os dois resíduos obtemos a solução em tempo:
f(t)=e^-t9+e^2t(3t-1)9

Resposta

f(t)=19e^-t+19e^2t(3t-1)

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