Encontre o conjunto solução das desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica de tal conjunto.
Passo 1
Estamos resolvendo a desigualdade racional
. Esse tipo de problema cai em inequação fracionária: vamos precisar encontrar o domínio, transformar tudo num único quociente e, por fim, analisar o sinal em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio da expressão. Como os denominadores não podem ser zero, temos as condições
e
. Logo,
e
.
Passo 3
Agora, levamos tudo para um único quociente. Começamos subtraindo as frações e juntando numerador e denominador:
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
Passo 4
Em seguida, simplificamos o numerador e identificamos o sinal de numerador e denominador.
O numerador é
O numerador é
O denominador é
Portanto a desigualdade vira
Passo 5
Os pontos críticos aparecem quando o numerador ou o denominador se anulam, isto é,
• Numerador zero em ,
• Denominador zero em e
.
Dividimos a reta em quatro intervalos:
,
,
e
.
• Numerador zero em
• Denominador zero em
Dividimos a reta em quatro intervalos:
Passo 6
Analisamos o sinal da fração em cada intervalo (numerador/denominador):
• Em : numerador <0, denominador >0 ⇒ quociente <0.
• Em : numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
• Em : numerador >0, denominador <0 ⇒ quociente <0.
• Em : numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
Como queremos >0, a solução ocorre em e
.
• Em
• Em
• Em
• Em
Como queremos >0, a solução ocorre em
Passo 7
Para a representação gráfica, marcamos na reta real os pontos críticos
,
e
com círculos abertos (não inclusos) e sombreia-mos os intervalos de solução
e
.
Resposta
O conjunto solução é
.