Encontre o conjunto solução das desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica de tal conjunto.
3x-9>2x+2

Passo 1

Estamos resolvendo a desigualdade racional 3x-9>2x+2. Esse tipo de problema cai em inequação fracionária: vamos precisar encontrar o domínio, transformar tudo num único quociente e, por fim, analisar o sinal em cada intervalo definido pelos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio da expressão. Como os denominadores não podem ser zero, temos as condições x-9neq0 e x+2neq0. Logo, xneq9 e xneq -2.

Passo 3

Agora, levamos tudo para um único quociente. Começamos subtraindo as frações e juntando numerador e denominador:
3x-9-2x+2>0
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
3(x+2)-2(x-9)(x-9)(x+2)>0

Passo 4

Em seguida, simplificamos o numerador e identificamos o sinal de numerador e denominador.
O numerador é
3(x+2)-2(x-9)=3x+6-2x+18=x+24
O denominador é
(x-9)(x+2)
Portanto a desigualdade vira
x+24(x-9)(x+2)>0

Passo 5

Os pontos críticos aparecem quando o numerador ou o denominador se anulam, isto é,
• Numerador zero em x=-24,
• Denominador zero em x=9 e x=-2.
Dividimos a reta em quatro intervalos:
(-infty,-24), (-24,-2), (-2,9) e (9,infty).

Passo 6

Analisamos o sinal da fração em cada intervalo (numerador/denominador):
• Em (-infty,-24): numerador <0, denominador >0 ⇒ quociente <0.
• Em (-24,-2): numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
• Em (-2,9): numerador >0, denominador <0 ⇒ quociente <0.
• Em (9,infty): numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
Como queremos >0, a solução ocorre em (-24,-2) e (9,infty).

Passo 7

Para a representação gráfica, marcamos na reta real os pontos críticos -24, -2 e 9 com círculos abertos (não inclusos) e sombreia-mos os intervalos de solução (-24,-2) e (9,infty).

Resposta

O conjunto solução é (-24,-2)cup(9,infty).

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