Sabendo que L^{-1}\left\{F(s) G(s)\right\}=f * g, calcule:
L^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s(s+1)}\bigr\}. Vamos usar a propriedade de convolução:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}(t) =(f*g)(t) =\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Decompomos a função em dois fatores:
\frac{1}{s(s+1)} =\frac{1}{s}\;\cdot\;\frac{1}{s+1}.
Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}=e^{-t}, definimos
f(t)=1, \quad g(t)=e^{-t}.

Passo 3

Aplicamos a integral de convolução:
(f*g)(t) =\int_{0}^{t}1\cdot e^{-(t-\tau)}\,d\tau =e^{-t}\int_{0}^{t}e^{\tau}\,d\tau =e^{-t}\bigl(e^{t}-1\bigr) =1-e^{-t}.

Resposta

1 - e^{-t}.

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