Sabendo que \langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle=2, calcular
(f) \langle\vec{u}+\vec{v}, \vec{u} \times \vec{w}\rangle

Passo 1

O enunciado fornece a tripla escalar
\langle\vec{u},\vec{v}\times\vec{w}\rangle=2
e pede o valor de
\langle\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle.
O assunto é o produto escalar triplo e usaremos suas propriedades de bilinearidade e ciclicidade.

Passo 2

Expandimos a soma dentro da tripla escalar usando bilinearidade:
\langle\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle =\langle\vec{u},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle +\langle\vec{v},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle.

Passo 3

Note que
\langle\vec{u},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle=0
porque o produto escalar triplo se anula sempre que dois dos vetores são iguais (anti-simetria).

Passo 4

Para
\langle\vec{v},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle
usamos a ciclicidade:
\langle\vec{v},\,\vec{u}\times\vec{w}\rangle =\langle\vec{u},\,\vec{w}\times\vec{v}\rangle =\langle\vec{u},\,-(\vec{v}\times\vec{w})\rangle =-\langle\vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle =-2.

Resposta

-2

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