Sabendo que \langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle=2, calcular
(d) \langle\vec{u} \times \vec{w}, 3 \vec{v}\rangle

Passo 1

O enunciado dá o valor da forma trilinear (produto escalar misto)
\langle \vec{u}, \vec{v}\times\vec{w}\rangle = 2
e pede \langle \vec{u}\times\vec{w},\,3\vec{v}\rangle. Vamos usar propriedades de produto escalar misto: linearidade e permutações cíclicas.

Passo 2

Usamos a linearidade no segundo fator escalar:
\langle \vec{u}\times\vec{w},\,3\vec{v}\rangle =3\,\langle \vec{u}\times\vec{w},\,\vec{v}\rangle.

Passo 3

Aplicamos a permutação cíclica do produto escalar misto:
\langle \vec{u}\times\vec{w},\,\vec{v}\rangle =\langle \vec{u},\,\vec{w}\times\vec{v}\rangle.
Mas \vec{w}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{w}), então
\langle \vec{u},\,\vec{w}\times\vec{v}\rangle =-\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle =-2.

Passo 4

Substituindo em

Passo 5

3\,\langle \vec{u}\times\vec{w},\,\vec{v}\rangle =3\times(-2)=-6.

Resposta

-6

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