Determine a posição relativa e, caso exista, o ponto de interseção das retas r_{1} e r_{2}, onde:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x-10\end{array} \quad\right.
e \quad r_{2}: x=\frac{y-4}{3}=\frac{z+1}{-2}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\): \(r_{1}:\begin{cases}y=2x-3,\z=-x-10\end{cases}
e
r_{2}:x=\dfrac{y-4}{3}=\dfrac{z+1}{-2}.
O que precisamos é determinar se elas são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas (skew) e, se houver interseção, achar o ponto comum.

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica.
Para r_{1} tomamos parâmetro t em x=t. Então
x = t,\quad y = 2t - 3,\quad z = -\,t - 10.
Logo um ponto qualquer de r_{1} é
\displaystyle P_1=(0,-3,-10)
e seu vetor diretor é
\displaystyle \mathbf d_1=(1,2,-1).

Passo 3

Para r_{2} igualamos tudo a um parâmetro s:
x = s,\quad y-4=3s\implies y=3s+4,\quad z+1=-2s\implies z=-2s-1.
Assim um ponto de r_{2} é
\displaystyle P_2=(0,4,-1)
e seu vetor diretor é
\displaystyle \mathbf d_2=(1,3,-2).

Passo 4

Verificamos se os vetores diretores são múltiplos entre si para checar paralelismo:
\mathbf d_1=(1,2,-1) e \mathbf d_2=(1,3,-2).
Não existe \lambda tal que (1,2,-1)=\lambda(1,3,-2), pois precisaríamos de \lambda=1 em x, mas isso daria 2\neq3 em y. Logo não são paralelas.

Passo 5

Tentamos ver se há interseção, igualando as parametrizações:
(t,\,2t-3,\,-t-10)=(s,\,3s+4,\,-2s-1).
Da componente x vem t=s.
Da componente y vem
2t-3=3t+4\\ \Longrightarrow\\\ -t=7\\ \Longrightarrow\\ t=-7,\\ s=-7.
Mas na componente z obteríamos
z_1=-(-7)-10=7-10=-3,\quad z_2=-2(-7)-1=14-1=13,
e -3\neq13. Isso mostra que não há ponto comum.

Passo 6

Como não são paralelas e não se intersectam, concluímos que são retas reversas (skew), isto é, não estão nem no mesmo plano nem se cruzam.

Resposta

As retas r_{1} e r_{2} são reversas (skew) e não têm ponto de interseção.

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