Sabendo-se que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3 A+x)^{2}-B}{A x}=6
pode-se deduzir que o valor de B é:
a) 9 A^{2}
b) 6
c) 3 A^{2}
d) 12
e) 0

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\lim_{x\to 0}\frac{(3A+x)^{2}-B}{A x}=6.
Informações importantes que o problema fornece:
  • A e B são constantes (não dependem de x).
  • O limite quando x\to0 do quociente acima vale 6.
    O que o enunciado pede: determinar o valor de B compatível com essa igualdade.

Passo 2

Primeira observação prática: ao fazer x\to0, o denominador A x tende a 0. Para que o limite exista e seja um número finito (igual a 6), é necessário que o numerador também tenda a 0 quando x\to0. Então calcule o numerador em x=0:
(3A+0)^{2}-B=9A^{2}-B.
Para o numerador tender a zero devemos ter
9A^{2}-B=0.
Portanto, já obtemos a relação
B=9A^{2}.

Passo 3

Agora vamos verificar que esse valor de B realmente produz o limite indicado (é bom sempre checar). Primeiro expandir o quadrado no numerador:
(3A+x)^{2}=9A^{2}+6A x+x^{2}.
Substituindo isso no numerador e usando B=9A^{2} resulta
(3A+x)^{2}-B=(9A^{2}+6A x+x^{2})-9A^{2}=6A x+x^{2}.

Passo 4

Colocar o numerador simplificado sobre o denominador e simplificar:
\frac{(3A+x)^{2}-B}{A x}=\frac{6A x+x^{2}}{A x}=\frac{x(6A+x)}{A x}=\frac{6A+x}{A}=6+\frac{x}{A}.
Agora tomamos o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0}\left(6+\frac{x}{A}\right)=6+\frac{0}{A}=6.
Portanto, com B=9A^{2} o limite realmente vale 6, como o enunciado exige.

Passo 5

Observação final sobre A: para que as manipulações acima façam sentido (divisão por A em alguns passos), é necessário que A\neq0. O enunciado implícita ou explicitamente assume isso, caso contrário a expressão original não está bem definida perto de x=0.

Resposta

a) 9A^{2}

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