2 - Sabendo que \mathrm{Eg}=1.12 \mathrm{eV} para o silício intrínseco, calcule a concentração de portadores para \mathrm{T}=50 \mathrm{~K} e para \mathrm{T}=350 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede a concentração intrínseca de portadores n_i no silício para duas temperaturas \,T=50\mathrm{~K} e \,T=350\mathrm{~K}, sabendo que a largura de banda proibida vale \,E_g=1{,}12\mathrm{\,eV}. Vamos usar a fórmula geral para semicondutor intrínseco
n_i(T)=B\,T^{3/2}\,\exp\biggl(-\frac{E_g}{2\,k\,T}\biggr),
onde k é a constante de Boltzmann em eV/K e B é um coeficiente que incorpora as densidades efetivas dos estados de condução e valência.

Passo 2

Definimos os parâmetros numéricos:
- Constante de Boltzmann
k = 8{,}617\times10^{-5}\,\mathrm{eV/K}.
- Coeficiente típico para silício (obtido a partir de massas efetivas)
B \approx 5{,}2\times10^{15}\,\mathrm{cm^{-3}\,K^{-3/2}}.
Logo a expressão fica
n_i(T)=5{,}2\times10^{15}\;T^{3/2}\;\exp\!\Bigl(-\frac{1{,}12}{2\,(8{,}617\times10^{-5})\,T}\Bigr)\quad\bigl[\mathrm{cm^{-3}}\bigr].

Passo 3

Cálculo para T=50\mathrm{~K}:
- Primeiro o fator T^{3/2}:
50^{3/2} = 50\,\sqrt{50}\approx353{,}6.
- Em seguida o expoente
\frac{E_g}{2\,k\,T} = \frac{1{,}12}{2\,(8{,}617\times10^{-5})\times50} \approx129{,}9,
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\exp\bigl(-129{,}9\bigr)\approx1{,}7\times10^{-57}.
Multiplicando tudo:
n_i(50)\approx 5{,}2\times10^{15}\times353{,}6\times1{,}7\times10^{-57} \approx3{,}2\times10^{-39}\,\mathrm{cm^{-3}}.

Passo 4

Cálculo para T=350\mathrm{~K}:
- Fator T^{3/2}:
350^{3/2} = 350\,\sqrt{350}\approx6{,}548.
- Expoente
\frac{E_g}{2\,k\,T} = \frac{1{,}12}{2\,(8{,}617\times10^{-5})\times350} \approx18{,}57,
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\exp\bigl(-18{,}57\bigr)\approx8{,}6\times10^{-9}.
Multiplicando:
n_i(350)\approx 5{,}2\times10^{15}\times6{,}548\times8{,}6\times10^{-9} \approx2{,}9\times10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}}.

Resposta

Para silício intrínseco com E_g=1{,}12\mathrm{\,eV}:
n_i(50\mathrm{~K})\approx3{,}2\times10^{-39}\,\mathrm{cm^{-3}}
n_i(350\mathrm{~K})\approx2{,}9\times10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}}

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