4 - Calcule as concentrações de elétrons e de buracos e a posição do nível de Fermi num cristal de silício dopado com 10^{17} impurezas de \mathrm{Ga} / \mathrm{cm}^{3} átomos de As, a \mathrm{T}=290 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede para um cristal de silício a T=290\\ \mathrm{K} dopado com 10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}} de impurezas:
– no caso de Ga (aceptores), teremos um semicondutor tipo-p.
– no caso de As (dadores), será tipo-n.
Precisamos calcular em cada caso
  1. a concentração intrínseca n_i em 290\\ \mathrm{K};
  2. as concentrações de elétrons n e de buracos p usando np=n_i^2 e supondo ionização completa;
  3. a posição do nível de Fermi E_F em relação ao nível intrínseco E_i (e, a partir daí, em relação às bordas de banda).

Passo 2

Vamos primeiro obter n_i(290\\ \mathrm{K}) pela fórmula aproximada
n_i(T)=5,23\times10^{15}\,T^{3/2}\,\exp\Bigl(-\frac{E_g}{2kT}\Bigr),
onde E_g\approx1{,}12\\ \mathrm{eV} e k=8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Para T=290\\ \mathrm{K}:
kT=8{,}617\times10^{-5}\times290\approx0{,}0250\\ \mathrm{eV}, \quad \frac{E_g}{2kT}=\frac{1{,}12}{2\times0{,}0250}\approx22{,}4,
T^{3/2}=290^{1{.}5}\approx4{,}94\times10^3, \quad n_i\approx5{,}23\times10^{15}\times4{,}94\times10^3\times e^{-22{,}4}\approx4{,}75\times10^9\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 3

Caso p-tipo ( N_A=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}, impurezas de Ga):
– Como há ionização completa, p\approx N_A=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
– Pelo equilíbrio de massa,
n=\frac{n_i^2}{p}=\frac{\bigl(4{,}75\times10^9\bigr)^2}{10^{17}}\approx2{,}26\times10^2\\ \mathrm{cm^{-3}}.
– A defasagem do nível de Fermi em relação ao nível intrínseco \,E_i vem de
p=n_i\exp\Bigl(-\frac{E_F-E_i}{kT}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad E_i-E_F = kT\ln\frac{p}{n_i}.
Numericamente,
E_i-E_F =0{,}0250\ln\frac{10^{17}}{4{,}75\times10^9} \approx0{,}0250\times16{,}86\approx0{,}422\\ \mathrm{eV}.
Logo, E_F está 0{,}422\\ \mathrm{eV} abaixo de E_i. Como E_i fica a meio-gap de E_V (banda de valência), ou seja E_i-E_V=E_g/2=0{,}56\\ \mathrm{eV}, então
E_F-E_V =0{,}56-0{,}422=0{,}138\\ \mathrm{eV}, \quad E_C-E_F =E_g-(E_F-E_V)=1{,}12-0{,}138=0{,}982\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Caso n-tipo ( N_D=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}, impurezas de As):
n\approx N_D=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
p=n_i^2/n\approx(4{,}75\times10^9)^2/10^{17}\approx2{,}26\times10^2\\ \mathrm{cm^{-3}}.
– Agora
n=n_i\exp\Bigl(\frac{E_F-E_i}{kT}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad E_F-E_i = kT\ln\frac{n}{n_i} \approx0{,}0250\ln\frac{10^{17}}{4{,}75\times10^9} \approx0{,}422\\ \mathrm{eV}.
Portanto E_F fica 0{,}422\\ \mathrm{eV} acima de E_i. Como E_C-E_i=0{,}56\\ \mathrm{eV}, obtemos
E_C-E_F =0{,}56-0{,}422=0{,}138\\ \mathrm{eV}, \quad E_F-E_V =E_g-(E_C-E_F)=1{,}12-0{,}138=0{,}982\\ \mathrm{eV}.

Resposta

Para T=290\\ \mathrm{K} e n_i\approx4{,}75\times10^9\\ \mathrm{cm^{-3}}:
(a) Doping com Ga ( N_A=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}, tipo-p):
p\approx10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}},\quad n\approx2{,}26\times10^2\\ \mathrm{cm^{-3}},\quad E_F\text{ a }0{,}422\\ \mathrm{eV}\text{ abaixo de }E_i
\Longrightarrow E_F-E_V=0{,}138\\ \mathrm{eV},\quad E_C-E_F=0{,}982\\ \mathrm{eV}.
(b) Doping com As ( N_D=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}, tipo-n):
n\approx10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}},\quad p\approx2{,}26\times10^2\\ \mathrm{cm^{-3}},\quad E_F\text{ a }0{,}422\\ \mathrm{eV}\text{ acima de }E_i
\Longrightarrow E_C-E_F=0{,}138\\ \mathrm{eV},\quad E_F-E_V=0{,}982\\ \mathrm{eV}.

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