Sabendo que o \mathrm{K}_{\text {ps }} do \mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2} é 5,5 \times 10^{-6} determine a sua solubilidade em:
a. Água
b. Uma solução de \mathrm{Ca}^{2+} 0,100 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado dá o valor do produto de solubilidade do hidróxido de cálcio e pede a solubilidade em duas situações. Informações e perguntas claramente listadas:
  • Dado: \,K_{\text{ps}}(\mathrm{Ca(OH)_2})=5{,}5\times10^{-6}.
  • Pergunta (a): qual é a solubilidade em água pura (ou seja, em mol por litro)?
  • Pergunta (b): qual é a solubilidade em uma solução que já contém \mathrm{Ca}^{2+} com concentração \,0{,}100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}?

Passo 2

Entendendo o sistema e a notação (aula rápida e clara).
  • A solubilidade que se pede é a solubilidade molar: número de mols do sólido que se dissolvem por litro de solução, denotada por s (unidade \mathrm{mol\,L^{-1}}).
  • A reação de dissolução do \mathrm{Ca(OH)_2} é:
\mathrm{Ca(OH)_2(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ca}^{2+}(aq) + 2\,\mathrm{OH}^-(aq).
  • A partir dessa equação, ao dissolver uma quantidade s de \mathrm{Ca(OH)_2} (em mol L^{-1}), geram-se as concentrações:
[\mathrm{Ca}^{2+}]=s,\qquad [\mathrm{OH}^-]=2s.
  • O produto de solubilidade é definido por:
K_{\text{ps}}=[\mathrm{Ca}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^-]^2.
Cada variável aqui representa a concentração molar da espécie indicada, em mol L^{-1}.

Passo 3

Resolvendo (a) — solubilidade em água pura.
  • Substituindo as expressões em função de s na expressão de K_{\text{ps}}:
K_{\text{ps}}=s\cdot(2s)^2 = 4s^3.
  • Isolando s:
s=\sqrt[3]{\dfrac{K_{\text{ps}}}{4}}.
  • Agora, substituir o valor numérico de K_{\text{ps}}. Primeiro calcule \dfrac{K_{\text{ps}}}{4}:
\dfrac{K_{\text{ps}}}{4}=\dfrac{5{,}5\times10^{-6}}{4}=1{,}375\times10^{-6}.
  • Tomando a raiz cúbica:
s=\sqrt[3]{1{,}375\times10^{-6}}=\sqrt[3]{1{,}375}\times\sqrt[3]{10^{-6}}.
  • Observação: \sqrt[3]{10^{-6}}=10^{-2}. E \sqrt[3]{1{,}375}\approx1{,}112 (estimação numérica).
  • Portanto:
s\approx1{,}112\times10^{-2}=0{,}01112\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Resultado interpretado: em água pura a solubilidade molar do \mathrm{Ca(OH)_2} é aproximadamente \,0{,}01112\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Opcional (importante para prova): as concentrações em equilíbrio serão [\mathrm{Ca}^{2+}]=s\approx0{,}01112\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e [\mathrm{OH}^-]=2s\approx0{,}02224\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 4

Explicação do efeito do íon comum (introdução ao que usaremos em (b)).
  • Se já existe \mathrm{Ca}^{2+} na solução, a solubilidade do \mathrm{Ca(OH)_2} diminui (efeito do íon comum). Para tratar isso, chamamos de x a solubilidade adicional do sólido que se dissolve na presença do íon comum.
  • No caso (b) teremos, em equilíbrio:
[\mathrm{Ca}^{2+}]=0{,}100+x,\qquad [\mathrm{OH}^-]=2x,
onde x é a solubilidade procurada na presença de [\mathrm{Ca}^{2+}]_{\text{inicial}}=0{,}100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Montando a equação para (b) e fazendo a aproximação clássica.
  • Usando a expressão de K_{\text{ps}}:
K_{\text{ps}}=(0{,}100+x)\cdot(2x)^2=(0{,}100+x)\cdot4x^2.
  • Normalmente em problemas de equilíbrio com íon comum verifica-se se x é pequeno diante do valor inicial (a regra prática: se x<5\% do valor inicial, a aproximação é aceitável). Aqui antecipamos que x será pequeno e, então, aproximamos (0{,}100+x)\approx0{,}100. Assim:
K_{\text{ps}}\approx0{,}100\cdot4x^2=0{,}4x^2.
  • Isolando x:
x\approx\sqrt{\dfrac{K_{\text{ps}}}{0{,}4}}.

Passo 6

Calculando x numericamente.
  • Calcule o quociente:
\dfrac{K_{\text{ps}}}{0{,}4}=\dfrac{5{,}5\times10^{-6}}{0{,}4}=1{,}375\times10^{-5}.
  • Tire a raiz quadrada:
x\approx\sqrt{1{,}375\times10^{-5}}=\sqrt{1{,}375}\times\sqrt{10^{-5}}.
  • Sabendo que \sqrt{10^{-5}}=10^{-2{,}5}=3{,}1623\times10^{-3} e \sqrt{1{,}375}\approx1{,}1726, obtemos
x\approx1{,}1726\times3{,}1623\times10^{-3}\approx3{,}71\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Portanto a solubilidade adicional em presença de [\mathrm{Ca}^{2+}]_{\text{inicial}}=0{,}100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} é x\approx0{,}00371\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Verificação da aproximação: a fração x/0{,}100\approx0{,}0371 (ou seja, 3{,}71\%), menor que 5\%, então a aproximação (0{,}100+x)\approx0{,}100 é válida.

Passo 7

Interpretação final e recordatório prático para a prova.
  • Em água pura a solubilidade é relativamente alta (da ordem de 10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}). Com íon comum \mathrm{Ca}^{2+} já presente em 0{,}100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, a solubilidade cai para a ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Lembre-se: sempre montar o equilíbrio, expressar as concentrações em função de s (ou x), substituir em K_{\text{ps}} e, se possível, usar a aproximação do íon comum verificando depois sua validade (comparando o x obtido com a concentração inicial).

Resposta

(a) 0{,}01112\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
(b) 0{,}00371\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

Exercícios relacionados