Sabendo que as matrizes abaixo comutam, \left[\begin{array}{ll}a & a \\\ a & 2\end{array}\right] e \left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\\\ 3 & 3\end{array}\right], determine o valor de a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de a tal que as matrizes
A = \begin{pmatrix}a & a \\[6pt] a & 2\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}0 & 3 \\[6pt] 3 & 3\end{pmatrix}
comutem, isto é, satisfazem AB = BA. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes para comparar os produtos.]

Passo 2

Calcular o produto AB:
AB =\begin{pmatrix}a & a \\[3pt] a & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 3 \\[3pt] 3 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a\cdot0 + a\cdot3 & a\cdot3 + a\cdot3 \\[6pt] a\cdot0 + 2\cdot3 & a\cdot3 + 2\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3a & 6a \\[3pt] 6 & 3a + 6 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o produto BA:
BA =\begin{pmatrix}0 & 3 \\[3pt] 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & a \\[3pt] a & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot a + 3\cdot a & 0\cdot a + 3\cdot2 \\[6pt] 3\cdot a + 3\cdot a & 3\cdot a + 3\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3a & 6 \\[3pt] 6a & 3a + 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para que AB=BA é preciso que cada entrada correspondente seja igual. Comparando a entrada (1,2) de ambos temos
6a = 6
e comparando a (2,1) temos
6 = 6a.
Em ambos os casos obtemos
a = 1.

Resposta

a = 1

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