Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & a\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & b \\\ b & 1\end{array}\right], determine a e b, de modo que A B=I, em que I é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado dá
A = \begin{pmatrix}a & 0 \\[6pt] 0 & a\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1 & b \\[6pt] b & 1\end{pmatrix}
e pede os valores de a e b tais que AB = I, onde
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e comparação de entradas.]

Passo 2

Para calcular AB, multiplicamos linha por coluna:
AB = \begin{pmatrix}a & 0 \\[3pt] 0 & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & b \\[3pt] b & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot1 + 0\cdot b & a\cdot b + 0\cdot1 \\[6pt] 0\cdot1 + a\cdot b & 0\cdot b + a\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a b \\[3pt] a b & a\end{pmatrix}.]

Passo 3

Impondo AB = I, igualamos as entradas correspondentes:
\begin{cases} a = 1,\\[6pt] a\,b = 0. \end{cases}]

Passo 4

Da primeira equação vem a = 1. Substituindo em a\,b = 0 obtemos
1 \cdot b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 0.

Resposta

a = 1 e b = 0.

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