Considere as seguintes matrizes: A=\left[\begin{array}{cc}4-3 x & 7-\bar{x} \\\\ 0 & -10 \\\\ -5 & -4\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ 5 & 0 \\\\ 2 & 2\end{array}\right], C\left[\begin{array}{ll}x & x+\overline{1} \\\\ 1 & x-1\end{array}\right. e D=\left[\begin{array}{cc}0 & 10 \\\\ 10 & 5 \\\\ 1 & 4\end{array}\right].
Determine o valor de x para que se tenha: A+B C=D.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 4-3x & 7 - x\\\\ 0 & -10\\\\ -5 & -4 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 3 & -4\\\\ 5 & 0\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} x & x+1\\\\ 1 & x-1 \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 0 & 10\\\\ 10 & 5\\\\ 1 & 4 \end{pmatrix}.
Queremos achar x tal que
A + B\,C = D.
Para isso, vamos (i) calcular B\,C, (ii) somar com A e (iii) igualar a D entrada a entrada.

Passo 2

Calculemos o produto
B\,C =\begin{pmatrix} 3 & -4\\\\ 5 & 0\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & x+1\\\\ 1 & x-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-4 & -x+7\\\\ 5x & 5x+5\\\\ 2x+2 & 4x \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora somamos A e B\,C:
A + B\,C =\begin{pmatrix} 4-3x & 7 - x\\\\ 0 & -10\\\\ -5 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3x-4 & -x+7\\\\ 5x & 5x+5\\\\ 2x+2 & 4x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 14-2x\\\\ 5x & 5x-5\\\\ 2x-3 & 4x-4 \end{pmatrix}.
Devemos ter
\begin{pmatrix} 0 & 14-2x\\\\ 5x & 5x-5\\\\ 2x-3 & 4x-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 10\\\\ 10 & 5\\\\ 1 & 4 \end{pmatrix}.
Assim, da posição (1,2) vem 14-2x=10, da (2,1) vem 5x=10 e da (3,1) vem 2x-3=1.

Passo 4

As três equações acima dão todas x=2, e conferem também nas demais posições. Logo, a única solução é x=2.

Resposta

x=2

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