Um rio descarrega uma taxa de
em um reservatório. A vazão de saída do reservatório através de uma comporta de fundo é de
. Se a área do reservatório for de
. Qual a taxa de elevação do nível de água no reservatório? Resp:
7. Um jato livre com área da seção reta de
, de um líquido com
e a uma velocidade de
, é desviado de sua trajetória em
, na mesma direção, quando incide sobre um carrinho de massa 1 kg e de movimento livre sobre o piso com o qual tem coeficiente de atrito igual a 0,3 . Para esta situação determine a velocidade do carrinho quando esta for constante.
7. Um jato livre com área da seção reta de
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda).
Primeiro problema (reservatório):
- Vazão de entrada:
. - Vazão de saída pela comporta:
. - Área do reservatório:
. - Pergunta: qual a taxa de elevação do nível de água no reservatório (resultado esperado em
).
Segundo problema (jato e carrinho):
- Área da seção do jato:
. - Densidade do líquido:
. - Velocidade do jato (em relação ao solo):
. - O jato é desviado em
ao incidir sobre o carrinho (isto é, o jato sai invertido na mesma linha). - Massa do carrinho:
. - Coeficiente de atrito entre carrinho e piso:
. - Pergunta: determinar a velocidade do carrinho quando esta for constante (velocidade terminal), ou seja, quando as forças se equilibram.
Passo 2
Resolveremos o primeiro problema passo a passo. Conceito-chave: a taxa de aumento do nível de água
(em
) é dada pela diferença entre vazão de entrada e vazão de saída dividida pela área do reservatório:
Explicação didática:
tem unidades de volume por tempo (
). Dividindo esse volume por uma área (
) obtemos uma altura por unidade de tempo (
), que é exatamente a taxa de elevação do nível.
Antes de aplicar a fórmula, converto a área para metros quadrados.
Passo 3
Conversão e cálculo numérico do primeiro problema.
Converter a área:
Calcular a vazão líquida:
Agora a taxa de elevação em
:
Faço a divisão (passo a passo mental ou lápis e papel):
Passo 4
Conversão de
de
para
(pedido final). Procedimento:
-
. -
.
Portanto multiplicarpor para obter e por para obter . Ou multiplicar por .
Calculo:
Arredondando conforme dado,
. Quick sanity check: como área é muito grande, mesmo vazão líquida de milhares de
gera uma elevação lenta, ordem de centímetros por hora — faz sentido.
Passo 5
Agora passo para o segundo problema (jato + carrinho). Primeiro, converter unidades e definir variável a encontrar.
Converter área do jato para
:
Chamo de
a velocidade constante (terminal) do carrinho que queremos encontrar:
Ideia física: quando a velocidade for constante, a força horizontal resultante sobre o carrinho é zero. Há duas forças principais horizontais:
- Força de propulsão (empuxo) do jato sobre o carrinho, proveniente da variação de momento do fluido.
- Força de atrito cinético do piso sobre o carrinho, que é
, sempre oposta ao movimento.
No equilíbrio: força de propulsão = força de atrito.
Passo 6
Determinar a força de propulsão do jato sobre o carrinho usando conservação do momento (fluxo de quantidade de movimento).
Explicação didática:
- O jato entrega massa por segundo ao sistema: a massa que incide por segundo no carrinho (em relação ao solo) é a vazão mássica do jato
. Raciocínio: o bocal lança um volume por segundo (em ), multiplicado por dá a massa por segundo que sai do bocal; essa mesma massa por segundo chega ao carrinho (assumimos que todo jato atinge o carrinho). - Cada segundo essa massa tem velocidade antes de atingir o carrinho igual a
(no solo) e depois de ser desviada em ela sai na mesma linha mas no sentido oposto em relação ao carrinho. Para relacionar velocidades no solo, é útil considerar a velocidade de saída do jato em função de : em referência ao carrinho, o jato entra com velocidade e sai com ; convertendo de volta ao solo, a velocidade da água depois de sair será .
Assim, a variação de velocidade da massa de fluido (em relação ao solo) é:
A força (impulso por unidade de tempo) exercida sobre o carrinho é então
Comentário: este resultado faz sentido em extremos: se o carrinho estiver parado (
) a força é
(caso clássico do jato revertido); se o carrinho corre à mesma velocidade do jato (
) então não há troca de momento e
.
Passo 7
Calcular numericamente as quantidades necessárias para aplicar o equilíbrio.
Primeiro, cálculo da força de atrito:
Segundo, posso também calcular
(vazão mássica
em
) para inspeção:
Faço em passos:
. Multiplicando por
dá
Isso significa que cerca de
de líquido atingem o carrinho por segundo — bastante massa, logo a força do jato pode ser grande.
Passo 8
Impor equilíbrio de forças horizontais quando a velocidade é constante:
Substituindo
e
, obtemos a equação para
:
Resolver para
:
Explicação do passo: isolamos
de forma algébrica simples porque esta equação é linear em
.
Passo 9
Substituir os números e calcular
.
Parâmetros numéricos:
Calculo do denominador:
Já calculamos
, então
Agora a subtração:
Portanto
Arredondando com duas casas decimais fica
.
Comentário físico: o carrinho atinge quase a velocidade do jato porque o jato carrega muita massa por segundo; porém existe uma pequena perda imposta pelo atrito, por isso
fica ligeiramente menor que
. Se não houvesse atrito (
),
seria uma solução (nenhuma força líquida).
Passo 10
Resumo final e checagens rápidas:
- Primeiro problema: taxa de subida calculada e convertida para
dá o valor pedido. - Segundo problema: aplicada a conservação de momento por unidade de tempo (fluxo de quantidade de movimento) e equilibrado com atrito para obter a velocidade terminal do carrinho; resultado tem sentido físico.