Um rio descarrega uma taxa de 11326,74 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em um reservatório. A vazão de saída do reservatório através de uma comporta de fundo é de 7079,215 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Se a área do reservatório for de 103,6 \mathrm{~km}^{2}. Qual a taxa de elevação do nível de água no reservatório? Resp: 14,76 \mathrm{~cm} / \mathrm{h}
7. Um jato livre com área da seção reta de 18,5 \mathrm{~cm}^{2}, de um líquido com \rho=1030 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} e a uma velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, é desviado de sua trajetória em 180^{\circ}, na mesma direção, quando incide sobre um carrinho de massa 1 kg e de movimento livre sobre o piso com o qual tem coeficiente de atrito igual a 0,3 . Para esta situação determine a velocidade do carrinho quando esta for constante.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda).
Primeiro problema (reservatório):
  • Vazão de entrada: \,Q_{\text{in}} = 11326{,}74\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Vazão de saída pela comporta: \,Q_{\text{out}} = 7079{,}215\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Área do reservatório: \,A = 103{,}6\\ \mathrm{km^{2}}.
  • Pergunta: qual a taxa de elevação do nível de água no reservatório (resultado esperado em \mathrm{cm/h}).
Segundo problema (jato e carrinho):
  • Área da seção do jato: \,A_j = 18{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Densidade do líquido: \,\rho = 1030\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Velocidade do jato (em relação ao solo): \,v = 30\\ \mathrm{m/s}.
  • O jato é desviado em 180^\circ ao incidir sobre o carrinho (isto é, o jato sai invertido na mesma linha).
  • Massa do carrinho: \,m = 1\\ \mathrm{kg}.
  • Coeficiente de atrito entre carrinho e piso: \,\mu = 0{,}3.
  • Pergunta: determinar a velocidade do carrinho quando esta for constante (velocidade terminal), ou seja, quando as forças se equilibram.

Passo 2

Resolveremos o primeiro problema passo a passo. Conceito-chave: a taxa de aumento do nível de água \dot{h} (em \mathrm{m/s}) é dada pela diferença entre vazão de entrada e vazão de saída dividida pela área do reservatório:
\dot{h}=\frac{Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}}{A}.
Explicação didática: Q tem unidades de volume por tempo ( \mathrm{m^{3}/s}). Dividindo esse volume por uma área ( \mathrm{m^{2}}) obtemos uma altura por unidade de tempo ( \mathrm{m/s}), que é exatamente a taxa de elevação do nível.
Antes de aplicar a fórmula, converto a área para metros quadrados.

Passo 3

Conversão e cálculo numérico do primeiro problema.
Converter a área:
A = 103{,}6\\ \mathrm{km^{2}} = 103{,}6\times(1000\\ \mathrm{m})^{2}=103{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{m^{2}}=1{,}036\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcular a vazão líquida:
Q_{\text{líquida}}=Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}=11326{,}74-7079{,}215=4247{,}525\\ \mathrm{m^{3}/s}.í
Agora a taxa de elevação em \mathrm{m/s}:
\dot{h}=\frac{4247{,}525}{1{,}036\times10^{8}} \\ \mathrm{m/s}.
Faço a divisão (passo a passo mental ou lápis e papel): \dfrac{4247{,}525}{1{,}036\times10^{8}}\approx 4{,}100123\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Conversão de \dot{h} de \mathrm{m/s} para \mathrm{cm/h} (pedido final). Procedimento:
  • 1\\ \mathrm{m} = 100\\ \mathrm{cm}.
  • 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}.
    Portanto multiplicar \dot{h} por 100 para obter \mathrm{cm/s} e por 3600 para obter \mathrm{cm/h}. Ou multiplicar por 100\cdot3600=360000.
Calculo:
\dot{h} = 4{,}100123\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}\times 360000\\ \frac{\mathrm{cm/h}}{\mathrm{m/s}} \approx 14{,}76044\\ \mathrm{cm/h}.
Arredondando conforme dado, \,14{,}76\\ \mathrm{cm/h}. Quick sanity check: como área é muito grande, mesmo vazão líquida de milhares de \mathrm{m^{3}/s} gera uma elevação lenta, ordem de centímetros por hora — faz sentido.

Passo 5

Agora passo para o segundo problema (jato + carrinho). Primeiro, converter unidades e definir variável a encontrar.
Converter área do jato para \mathrm{m^{2}}:
A_j = 18{,}5\\ \mathrm{cm^{2}} = 18{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} = 1{,}85\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Chamo de u a velocidade constante (terminal) do carrinho que queremos encontrar:
u = \text{velocidade do carrinho em } \mathrm{m/s}.
Ideia física: quando a velocidade for constante, a força horizontal resultante sobre o carrinho é zero. Há duas forças principais horizontais:
  • Força de propulsão (empuxo) do jato sobre o carrinho, proveniente da variação de momento do fluido.
  • Força de atrito cinético do piso sobre o carrinho, que é F_{\text{at}}=\mu m g, sempre oposta ao movimento.
No equilíbrio: força de propulsão = força de atrito.

Passo 6

Determinar a força de propulsão do jato sobre o carrinho usando conservação do momento (fluxo de quantidade de movimento).
Explicação didática:
  • O jato entrega massa por segundo ao sistema: a massa que incide por segundo no carrinho (em relação ao solo) é a vazão mássica do jato \dot{m}=\rho A_j v. Raciocínio: o bocal lança um volume A_j v por segundo (em \mathrm{m^{3}/s}), multiplicado por \rho dá a massa por segundo que sai do bocal; essa mesma massa por segundo chega ao carrinho (assumimos que todo jato atinge o carrinho).
  • Cada segundo essa massa tem velocidade antes de atingir o carrinho igual a v (no solo) e depois de ser desviada em 180^\circ ela sai na mesma linha mas no sentido oposto em relação ao carrinho. Para relacionar velocidades no solo, é útil considerar a velocidade de saída do jato em função de u: em referência ao carrinho, o jato entra com velocidade v-u e sai com -(v-u); convertendo de volta ao solo, a velocidade da água depois de sair será u + (-(v-u)) = 2u - v.
Assim, a variação de velocidade da massa de fluido (em relação ao solo) é:
\Delta v_{\text{fluido}} = v_{\text{in}}-v_{\text{out}} = v - (2u - v) = 2(v-u).
A força (impulso por unidade de tempo) exercida sobre o carrinho é então
F_{\text{jato}} = \dot{m}\times\Delta v_{\text{fluido}} = (\rho A_j v)\times 2(v-u) = 2\rho A_j v\,(v-u).
Comentário: este resultado faz sentido em extremos: se o carrinho estiver parado ( u=0) a força é 2\rho A_j v^2 (caso clássico do jato revertido); se o carrinho corre à mesma velocidade do jato ( u=v) então não há troca de momento e F_{\text{jato}}=0.

Passo 7

Calcular numericamente as quantidades necessárias para aplicar o equilíbrio.
Primeiro, cálculo da força de atrito:
F_{\text{at}}=\mu m g = 0{,}3\times 1\\ \mathrm{kg}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} = 2{,}943\\ \mathrm{N}.
Segundo, posso também calcular \rho A_j v (vazão mássica \dot{m} em \mathrm{kg/s}) para inspeção:
\dot{m}=\rho A_j v = 1030\times 1{,}85\times10^{-3}\times 30.
Faço em passos: 1030\times 1{,}85\times10^{-3}=1{,}9055. Multiplicando por 30
\dot{m}=57{,}165\\ \mathrm{kg/s}.
Isso significa que cerca de 57{,}165\\ \mathrm{kg} de líquido atingem o carrinho por segundo — bastante massa, logo a força do jato pode ser grande.

Passo 8

Impor equilíbrio de forças horizontais quando a velocidade é constante:
F_{\text{jato}} = F_{\text{at}}.
Substituindo F_{\text{jato}} = 2\rho A_j v (v-u) e F_{\text{at}}=\mu m g, obtemos a equação para u:
2\rho A_j v (v-u) = \mu m g.
Resolver para u:
v-u = \frac{\mu m g}{2\rho A_j v}\quad\Rightarrow\quad u = v - \frac{\mu m g}{2\rho A_j v}.
Explicação do passo: isolamos u de forma algébrica simples porque esta equação é linear em u.

Passo 9

Substituir os números e calcular u.
Parâmetros numéricos:
\rho = 1030,\qquad A_j = 1{,}85\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},\qquad v = 30\\ \mathrm{m/s},
\mu m g = 2{,}943\\ \mathrm{N}.
Calculo do denominador:
2\rho A_j v = 2\times 1030 \times 1{,}85\times10^{-3}\times 30.
Já calculamos \rho A_j v = 57{,}165, então
2\rho A_j v = 2\times 57{,}165 = 114{,}33.
Agora a subtração:
\frac{\mu m g}{2\rho A_j v} = \frac{2{,}943}{114{,}33}\approx 0{,}02574\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
u = 30 - 0{,}02574 \approx 29{,}97426\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais fica u\approx 29{,}97\\ \mathrm{m/s}.
Comentário físico: o carrinho atinge quase a velocidade do jato porque o jato carrega muita massa por segundo; porém existe uma pequena perda imposta pelo atrito, por isso u fica ligeiramente menor que v. Se não houvesse atrito ( \mu=0), u=v seria uma solução (nenhuma força líquida).

Passo 10

Resumo final e checagens rápidas:
  • Primeiro problema: taxa de subida calculada e convertida para \mathrm{cm/h} dá o valor pedido.
  • Segundo problema: aplicada a conservação de momento por unidade de tempo (fluxo de quantidade de movimento) e equilibrado com atrito para obter a velocidade terminal do carrinho; resultado tem sentido físico.

Resposta

14{,}76\\ \mathrm{cm/h}
29{,}97\\ \mathrm{m/s}

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