Utilizando a Análise Dimensional determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que f(\varepsilon ; \rho ; v ; D ; t ; V).
Resp: D=C \cdot \sqrt[4]{\frac{v^{3}}{\varepsilon}} ; t=C \cdot \sqrt{\frac{v}{\varepsilon}} ; V=C \cdot \sqrt[4]{\frac{\varepsilon}{v}}

Passo 1

O enunciado pede: usar análise dimensional para obter expressões adimensionais (ou melhor: leis de escala) para o diâmetro dos vórtices, para a escala de tempo e para a escala de velocidade sabendo que existe uma relação funcional entre as grandezas
\varepsilon,\\ \rho,\\ v,\\ D,\\ t,\\ V,
ou seja f(\varepsilon;\rho;v;D;t;V).
Informações fornecidas (vou explicitar as dimensões que precisamos):
  • \varepsilon (taxa de dissipação de energia por unidade de massa): dimensão \;[\varepsilon]=\mathrm{L^{2}\,T^{-3}}.
  • \rho (densidade): dimensão \;[\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}}.
  • v (viscosidade cinemática — aqui tomo v como \nu, a viscosidade cinemática): dimensão \;[v]=\mathrm{L^{2}\,T^{-1}}.
  • D (escala de comprimento / diâmetro do vórtice): dimensão \;[D]=\mathrm{L}.
  • t (escala de tempo): dimensão \;[t]=\mathrm{T}.
  • V (escala de velocidade): dimensão \;[V]=\mathrm{L\,T^{-1}}.
O objetivo é expressar D,\\ t,\\ V como produtos potenciais de \varepsilon,\\ v,\\ \rho vezes uma constante adimensional C. No Passo 2 começamos a resolver isso por comparação de potências dimensionais.

Passo 2

Estratégia: para cada escala suponho uma lei de potência geral do tipo
\text{(quantidade)} = C\; v^{\alpha}\;\varepsilon^{\beta}\;\rho^{\gamma},
onde C é constante adimensional e \alpha,\beta,\gamma são expoentes a determinar impondo que as dimensões dos dois lados coincidam. Vou fazer isso para D,\\ t,\\ V. Observação útil: se a solução der \gamma=0, significa que a densidade \rho não entra na escala (ou seja, a massa não influencia).

Passo 3

Escala de comprimento D.
Assumo
D = C\; v^{\alpha}\;\varepsilon^{\beta}\;\rho^{\gamma}.
Escrevo as dimensões do lado direito:
[L]= [v]^{\alpha}[\varepsilon]^{\beta}[\rho]^{\gamma} = \big(L^{2}T^{-1}\big)^{\alpha}\big(L^{2}T^{-3}\big)^{\beta}\big(ML^{-3}\big)^{\gamma}.
Agrupando expoentes de M,L,T:
M^{\gamma}\;L^{2\alpha+2\beta-3\gamma}\;T^{-\alpha-3\beta}.
Agora igualo expoentes às dimensões de D (que são M^{0}L^{1}T^{0}):
  • massa: 0=\gamma \Rightarrow \gamma=0.
  • tempo: 0=-\alpha-3\beta \Rightarrow \alpha=-3\beta.
  • comprimento: 1=2\alpha+2\beta.
Substituo \alpha=-3\beta na equação do comprimento:
1=2(-3\beta)+2\beta=-6\beta+2\beta=-4\beta \quad\Rightarrow\quad \beta=-\tfrac{1}{4}.
Então \alpha=-3(-\tfrac{1}{4})=\tfrac{3}{4} e \gamma=0.
Portanto
D = C\; v^{3/4}\;\varepsilon^{-1/4} = C\;\sqrt[4]{\frac{v^{3}}{\varepsilon}}.
Isso coincide com a forma esperada para a escala de comprimento.

Passo 4

Escala de tempo t.
Assumo
t = C\; v^{\alpha}\;\varepsilon^{\beta}\;\rho^{\gamma}.
Dimensionalmente:
[T]=M^{\gamma}\;L^{2\alpha+2\beta-3\gamma}\;T^{-\alpha-3\beta}.
Igualando aos expoentes de M^{0}L^{0}T^{1}:
  • massa: 0=\gamma \Rightarrow \gamma=0.
  • comprimento: 0=2\alpha+2\beta \Rightarrow \alpha=-\beta.
  • tempo: 1=-\alpha-3\beta.
Substituo \alpha=-\beta na equação do tempo:
1=-(-\beta)-3\beta=\beta-3\beta=-2\beta \quad\Rightarrow\quad \beta=-\tfrac{1}{2}.
Então \alpha=-\beta=\tfrac{1}{2} e \gamma=0.
Logo
t = C\; v^{1/2}\;\varepsilon^{-1/2} = C\;\sqrt{\frac{v}{\varepsilon}}.

Passo 5

Escala de velocidade [V).
Assumo
V = C\; v^{\alpha}\;\varepsilon^{\beta}\;\rho^{\gamma}.
Dimensionalmente:
[L\,T^{-1}] = M^{\gamma}\;L^{2\alpha+2\beta-3\gamma}\;T^{-\alpha-3\beta}.
Comparando expoentes com M^{0}L^{1}T^{-1}:
  • massa: 0=\gamma \Rightarrow \gamma=0.
  • comprimento: 1=2\alpha+2\beta \Rightarrow \tfrac{1}{2}=\alpha+\beta.
  • tempo: -1=-\alpha-3\beta \Rightarrow \alpha+3\beta=1.
Agora resolvo o sistema linear
\begin{cases} \alpha+\beta=\tfrac{1}{2},\\[4pt] \alpha+3\beta=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos 2\beta=\tfrac{1}{2}\Rightarrow\beta=\tfrac{1}{4}\]. Então \(\alpha=\tfrac{1}{2}-\beta=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4} e \gamma=0.
Portanto
V = C\; v^{1/4}\;\varepsilon^{1/4} = C\;\sqrt[4]{\varepsilon\,v}.]

Passo 6

Verificação rápida de consistência entre as escalas: dividir D por t deve dar uma escala de velocidade compatível com V. Usando os resultados:
\frac{D}{t} \sim \frac{v^{3/4}\varepsilon^{-1/4}}{v^{1/2}\varepsilon^{-1/2}} = v^{3/4-1/2}\varepsilon^{-1/4+1/2} = v^{1/4}\varepsilon^{1/4},
que é exatamente a expressão encontrada para V. Bom sinal: as três escalas são mutuamente consistentes.

Resposta

D=C\cdot\sqrt[4]{\dfrac{v^{3}}{\varepsilon}}
t=C\cdot\sqrt{\dfrac{v}{\varepsilon}}
V=C\cdot\sqrt[4]{\varepsilon\,v}

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