Utilizando a Análise Dimensional determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que
.
Resp:
Passo 1
O enunciado pede: usar análise dimensional para obter expressões adimensionais (ou melhor: leis de escala) para o diâmetro dos vórtices, para a escala de tempo e para a escala de velocidade sabendo que existe uma relação funcional entre as grandezas
,
ou seja .
ou seja
Informações fornecidas (vou explicitar as dimensões que precisamos):
-
(taxa de dissipação de energia por unidade de massa): dimensão . -
(densidade): dimensão . -
(viscosidade cinemática — aqui tomo como , a viscosidade cinemática): dimensão . -
(escala de comprimento / diâmetro do vórtice): dimensão . -
(escala de tempo): dimensão . -
(escala de velocidade): dimensão .
O objetivo é expressar
como produtos potenciais de
vezes uma constante adimensional
. No Passo 2 começamos a resolver isso por comparação de potências dimensionais.
Passo 2
Estratégia: para cada escala suponho uma lei de potência geral do tipo
onde
é constante adimensional e
são expoentes a determinar impondo que as dimensões dos dois lados coincidam. Vou fazer isso para
. Observação útil: se a solução der
, significa que a densidade
não entra na escala (ou seja, a massa não influencia).
Passo 3
Escala de comprimento
.
Assumo
Escrevo as dimensões do lado direito:
Agrupando expoentes de
:
Agora igualo expoentes às dimensões de
(que são
):
- massa:
. - tempo:
. - comprimento:
.
Substituo
na equação do comprimento:
Então
e
.
Portanto
Isso coincide com a forma esperada para a escala de comprimento.
Passo 4
Escala de tempo
.
Assumo
Dimensionalmente:
Igualando aos expoentes de
:
- massa:
. - comprimento:
. - tempo:
.
Substituo
na equação do tempo:
Então
e
.
Logo
Passo 5
Escala de velocidade [V).
Assumo
Dimensionalmente:
Comparando expoentes com
:
- massa:
. - comprimento:
. - tempo:
.
Agora resolvo o sistema linear
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
e
.
Portanto
Passo 6
Verificação rápida de consistência entre as escalas: dividir
por
deve dar uma escala de velocidade compatível com
. Usando os resultados:
que é exatamente a expressão encontrada para
. Bom sinal: as três escalas são mutuamente consistentes.