Questão 3. (20 pontos) Determine o ponto p=(a, b) no grafico de y=raizx+2 que está mais próximo do ponto q=(3,0), e determine qual é a distância entre p e q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o ponto $ p = (a, b) $ no gráfico de $ y = \sqrt{x + 2} $ que está mais próximo do ponto $ q = (3, 0) $. Isso tá ligado a temas de geometria analítica e cálculo, mais especificamente a minimização de funções. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e entender como encontrar o mínimo dessa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre $ p = (a, b) $ e $ q = (3, 0) $ é dada por:
p = (a, b)
Mas como $ b $ está no gráfico de $ y = \sqrt{x + 2} $, a gente sabe que $ b = \sqrt{a + 2} $. Então, podemos substituir $ b $ na fórmula da distância.

Passo 3

Substituindo $ b = \sqrt{a + 2} $ na equação da distância, fica:
b = raiza + 2
Simplificando o segundo termo:
d = raiz(a - 3)^2 + (raiza + 2)^2
d = raiz(a - 3)^2 + a + 2
d = raiza^2 - 6a + 9 + a + 2
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com $ d^2 $, já que a função raiz é crescente.

Passo 4

Vamos definir a função que representa o quadrado da distância:
D(a) = a^2 - 5a + 11
Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza $ D(a) $, vamos derivar e igualar a derivada a zero.

Passo 5

A derivada de $ D(a) $ em relação a $ a $ é:
D(a)
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
a
D'(a) = 2a - 5
2a - 5 = 0
Então, $ a = \frac{5}{2} $.

Passo 6

Agora que temos $ a $, vamos encontrar $ b $ usando $ b = \sqrt{a + 2} $:
a
Então, o ponto $ p $ é $ \left( \frac{5}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) $.

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância mínima usando a função $ D(a) $:
D(a)
Então, a distância $ d $ é:
D(52) = (52)^2 - 5 cdot 52 + 11 = 254 - 252 + 11 = 254 - 504 + 444 = 194

Resposta

O ponto $ p $ que está mais próximo de $ q = (3, 0) $ é $ \left( \frac{5}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) $ e a distância entre $ p $ e $ q $ é $ \frac{\sqrt{19}}{2} $ unidades.

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