Questão 3. (20 pontos) Determine o ponto
no grafico de
que está mais próximo do ponto
, e determine qual é a distância entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o ponto $ p = (a, b) $ no gráfico de $ y = \sqrt{x + 2} $ que está mais próximo do ponto $ q = (3, 0) $. Isso tá ligado a temas de geometria analítica e cálculo, mais especificamente a minimização de funções. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e entender como encontrar o mínimo dessa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre $ p = (a, b) $ e $ q = (3, 0) $ é dada por:
Mas como $ b $ está no gráfico de $ y = \sqrt{x + 2} $, a gente sabe que $ b = \sqrt{a + 2} $. Então, podemos substituir $ b $ na fórmula da distância.
Passo 3
Substituindo $ b = \sqrt{a + 2} $ na equação da distância, fica:
Simplificando o segundo termo:
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com $ d^2 $, já que a função raiz é crescente.
Passo 4
Vamos definir a função que representa o quadrado da distância:
Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza $ D(a) $, vamos derivar e igualar a derivada a zero.
Passo 5
A derivada de $ D(a) $ em relação a $ a $ é:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Então, $ a = \frac{5}{2} $.
Passo 6
Agora que temos $ a $, vamos encontrar $ b $ usando $ b = \sqrt{a + 2} $:
Então, o ponto $ p $ é $ \left( \frac{5}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) $.
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância mínima usando a função $ D(a) $:
Então, a distância $ d $ é:
Resposta
O ponto $ p $ que está mais próximo de $ q = (3, 0) $ é $ \left( \frac{5}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) $ e a distância entre $ p $ e $ q $ é $ \frac{\sqrt{19}}{2} $ unidades.