Sabendo-se que
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc}e & \pi & \sqrt{2} & 3^{\frac{1}{3}} & 1 \\\\ 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & -1 & 3 & 5 & 12 \\\\ 3 & 1 & 2 & 0 & 4\end{array}\right)=a,
calcule, em função de a,
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc}2 e & 2 \pi & \sqrt{8} & 24^{\frac{1}{3}} & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\\\ 0 & -1 & 3 & 5 & 12 \\\\ 3 & 0 & 5 & 5 & 16\end{array}\right).
(a) 2a.
(b) -2a.
(c) a.
(d) -a.
(e) 3a.

Passo 1

O enunciado nos dá que
\det\begin{pmatrix} e & \pi & \sqrt{2} & 3^{\frac{1}{3}} & 1\\[4pt] 2 & -3 & 4 & -5 & 6\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 5 & 12\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}=a.
Vou chamar esta matriz de M. O enunciado pede o valor, em função de a, de
\det\begin{pmatrix} 2e & 2\pi & \sqrt{8} & 24^{\frac{1}{3}} & 2\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 2 & -3 & 4 & -5 & 6\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 5 & 12\\[4pt] 3 & 0 & 5 & 5 & 16 \end{pmatrix}.
Vou chamar esta segunda matriz de N.
Informações relevantes extraídas dos dois matrizes (peguei todos esses números no enunciado):
  • Primeira linha de M: \bigl(e,\\ \pi,\\ \sqrt{2},\\\ 3^{\frac{1}{3}},\\\ 1\bigr).
  • Linhas 2,3,4,5 de M: \bigl(2,-3,4,-5,6\bigr), \bigl(1,2,3,4,5\bigr), \bigl(0,-1,3,5,12\bigr), \bigl(3,1,2,0,4\bigr).
  • Primeira linha de N: \bigl(2e,\\\ 2\pi,\\ \sqrt{8},\\\ 24^{\frac{1}{3}},\\\ 2\bigr).
  • Linhas 2,3,4,5 de N: \bigl(1,2,3,4,5\bigr), \bigl(2,-3,4,-5,6\bigr), \bigl(0,-1,3,5,12\bigr), \bigl(3,0,5,5,16\bigr).
O objetivo: escrever \det(N) em função de a=\det(M).]

Passo 2

Lembrete rápido (propriedades de determinante que vou usar). Estas são regras básicas que é preciso conhecer e aplicar passo a passo:
  • Se uma linha de uma matriz é multiplicada por um escalar \lambda, o determinante da matriz é multiplicado por \lambda. Em notação: se M' é obtida de M multiplicando a linha i por \lambda, então \det(M')=\lambda\det(M).
  • Se duas linhas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal: trocar linhas i e j faz \det passar para -\det.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante (operacão de linha do tipo L_i \leftarrow L_i + k L_j não altera \det).
Essas propriedades permitem relacionar \det(N) com \det(M) aplicando operações elementares nas linhas.

Passo 3

Vou comparar linha a linha e identificar operações que transformam M em N.
Das linhas dadas no enunciado (peguei estas linhas explicitamente nas matrizes acima):
  • A primeira linha de M é \bigl(e,\pi,\sqrt{2},3^{\frac{1}{3}},1\bigr).
  • A primeira linha de N é \bigl(2e,2\pi,\sqrt{8},24^{\frac{1}{3}},2\bigr).
Verifico que cada entrada da primeira linha de N é o dobro da correspondente em M:
2e = 2\cdot e,\quad 2\pi = 2\cdot\pi,\quad \sqrt{8}=2\sqrt{2},\quad 24^{\frac{1}{3}}=2\cdot 3^{\frac{1}{3}},\quad 2=2\cdot 1.
Logo a primeira linha de N é exatamente 2 vezes a primeira linha de M. Isto é,
\text{linha}_1(N)=2\cdot\text{linha}_1(M).
Agora as linhas 2 e 3 de N são, respectivamente,
\bigl(1,2,3,4,5\bigr) e \bigl(2,-3,4,-5,6\bigr).
Essas são, na ordem, a terceira e a segunda linhas de M. Ou seja, comparando com M:
\text{linha}_2(N)=\text{linha}_3(M),\qquad \text{linha}_3(N)=\text{linha}_2(M).
Isso significa que, para obter N a partir de M, houve uma troca das linhas 2 e 3.
A linha 4 de N é \bigl(0,-1,3,5,12\bigr), que é exatamente a linha 4 de M:
\text{linha}_4(N)=\text{linha}_4(M).
A linha 5 de N é \bigl(3,0,5,5,16\bigr). Compare com a linha 5 e a linha 4 de M:
\text{linha}_5(M)=\bigl(3,1,2,0,4\bigr),\qquad \text{linha}_4(M)=\bigl(0,-1,3,5,12\bigr).
Calculo a soma \text{linha}_5(M)+\text{linha}_4(M):
\bigl(3,1,2,0,4\bigr)+\bigl(0,-1,3,5,12\bigr)=\bigl(3,0,5,5,16\bigr),
que é exatamente \text{linha}_5(N). Portanto
\text{linha}_5(N)=\text{linha}_5(M)+\text{linha}_4(M).
Resumo das relações linha a linha (todas extraídas comparando as entradas fornecidas no enunciado):
  • \text{linha}_1(N)=2\cdot\text{linha}_1(M).
  • \text{linha}_2(N)=\text{linha}_3(M) e \text{linha}_3(N)=\text{linha}_2(M) (ou seja, houve uma troca entre as linhas 2 e 3).
  • \text{linha}_4(N)=\text{linha}_4(M).
  • \text{linha}_5(N)=\text{linha}_5(M)+\text{linha}_4(M).

Passo 4

Traduzo essas relações em efeito sobre o determinante, usando as propriedades do Passo 2.
Começo com \det(M)=a.
  1. Trocar as linhas 2 e 3 de M (para ajustar a ordem como em N) multiplica o determinante por -1. Após essa troca obtemos uma matriz M^{(1)} com \det(M^{(1)})=-a.
  2. Multiplicar a linha 1 por 2 (transformando-a na linha 1 de N) multiplica o determinante por 2. Aplicando isso a M^{(1)} obtém-se uma matriz M^{(2)} com \det(M^{(2)})=2\cdot\det(M^{(1)})=2\cdot(-a)=-2a.
  3. Finalmente, substituir a linha 5 por \text{linha}_5+\text{linha}_4 (operação L_5\leftarrow L_5+L_4) não altera o determinante. Aplicando essa operação a M^{(2)} obtém-se exatamente a matriz N sem mudar o valor do determinante. Portanto
\det(N)=\det(M^{(2)})=-2a.
Observação sobre ordem: a ordem em que se aplicam uma troca de linhas e a multiplicação de uma linha por escalar não altera o produto final dos fatores escalares/signos — o importante é contabilizar corretamente cada efeito. Aqui os efeitos combinam para multiplicar a por -1 (troca) e por 2 (escala), e a adição de linha não altera nada.

Passo 5

Conclusão: \det(N)=-2a.

Resposta

(b) -2a

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