Informações relevantes extraídas dos dois matrizes (peguei todos esses números no enunciado):
Primeira linha de M: \bigl(e,\\ \pi,\\ \sqrt{2},\\\ 3^{\frac{1}{3}},\\\ 1\bigr).
Linhas 2,3,4,5 de M: \bigl(2,-3,4,-5,6\bigr), \bigl(1,2,3,4,5\bigr), \bigl(0,-1,3,5,12\bigr), \bigl(3,1,2,0,4\bigr).
Primeira linha de N: \bigl(2e,\\\ 2\pi,\\ \sqrt{8},\\\ 24^{\frac{1}{3}},\\\ 2\bigr).
Linhas 2,3,4,5 de N: \bigl(1,2,3,4,5\bigr), \bigl(2,-3,4,-5,6\bigr), \bigl(0,-1,3,5,12\bigr), \bigl(3,0,5,5,16\bigr).
O objetivo: escrever \det(N) em função de a=\det(M).]
Passo 2
Lembrete rápido (propriedades de determinante que vou usar). Estas são regras básicas que é preciso conhecer e aplicar passo a passo:
Se uma linha de uma matriz é multiplicada por um escalar \lambda, o determinante da matriz é multiplicado por \lambda. Em notação: se M' é obtida de M multiplicando a linha i por \lambda, então \det(M')=\lambda\det(M).
Se duas linhas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal: trocar linhas i e j faz \det passar para -\det.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante (operacão de linha do tipo L_i \leftarrow L_i + k L_j não altera \det).
Essas propriedades permitem relacionar \det(N) com \det(M) aplicando operações elementares nas linhas.
Passo 3
Vou comparar linha a linha e identificar operações que transformam M em N.
Das linhas dadas no enunciado (peguei estas linhas explicitamente nas matrizes acima):
A primeira linha de M é \bigl(e,\pi,\sqrt{2},3^{\frac{1}{3}},1\bigr).
A primeira linha de N é \bigl(2e,2\pi,\sqrt{8},24^{\frac{1}{3}},2\bigr).
Verifico que cada entrada da primeira linha de N é o dobro da correspondente em M:
Logo a primeira linha de N é exatamente 2 vezes a primeira linha de M. Isto é,
\text{linha}_1(N)=2\cdot\text{linha}_1(M).
Agora as linhas 2 e 3 de N são, respectivamente, \bigl(1,2,3,4,5\bigr) e \bigl(2,-3,4,-5,6\bigr).
Essas são, na ordem, a terceira e a segunda linhas de M. Ou seja, comparando com M:
Traduzo essas relações em efeito sobre o determinante, usando as propriedades do Passo 2.
Começo com \det(M)=a.
Trocar as linhas 2 e 3 de M (para ajustar a ordem como em N) multiplica o determinante por -1. Após essa troca obtemos uma matriz M^{(1)} com \det(M^{(1)})=-a.
Multiplicar a linha 1 por 2 (transformando-a na linha 1 de N) multiplica o determinante por 2. Aplicando isso a M^{(1)} obtém-se uma matriz M^{(2)} com \det(M^{(2)})=2\cdot\det(M^{(1)})=2\cdot(-a)=-2a.
Finalmente, substituir a linha 5 por \text{linha}_5+\text{linha}_4 (operação L_5\leftarrow L_5+L_4) não altera o determinante. Aplicando essa operação a M^{(2)} obtém-se exatamente a matriz N sem mudar o valor do determinante. Portanto
\det(N)=\det(M^{(2)})=-2a.
Observação sobre ordem: a ordem em que se aplicam uma troca de linhas e a multiplicação de uma linha por escalar não altera o produto final dos fatores escalares/signos — o importante é contabilizar corretamente cada efeito. Aqui os efeitos combinam para multiplicar a por -1 (troca) e por 2 (escala), e a adição de linha não altera nada.