Uma turma de alunos do
ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8 h 40 às 10 h 20 e de 10 h 30 às 12 h . As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma?
(a)
.
(b) 18 .
(c) 36 .
(d) 48 .
(e) 54 .
(a)
(b) 18 .
(c) 36 .
(d) 48 .
(e) 54 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há três dias de aula por semana: segunda, quarta e sexta.
- Em cada dia há duas aulas (dois horários distintos):
– e – . Logo existem dias horários = slots semanais distintos. - As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo (vou chamar de
, e para ficar curto). - Cada matéria tem exatamente
aulas por semana e essas duas aulas são em dias diferentes (ou seja, a mesma matéria não pode ocupar os dois slots do mesmo dia).
O que o problema pede:
- Contar de quantos modos é possível montar o horário da turma, obedecendo as condições acima.
Passo 2
Modelagem e ideia-chave (sem calcular ainda).
- Cada dia tem dois slots distintos (manhã e final da manhã). Num dia só podem aparecer, pelos enunciados, duas matérias diferentes (pois uma matéria não pode ter as duas aulas no mesmo dia).
- Portanto, cada dia corresponde a um par de matérias distintas. Como temos
dias, teremos exatamente pares (um par por dia). - Os pares possíveis (não ordenados) entre as 3 matérias são:
. Em princípio, ao longo das 3 dias podemos repetir pares, mas há a restrição de que cada matéria aparece exatamente vezes ao total (duas aulas por semana).
Vou agora usar uma contagem por pares de matérias por dia.
Passo 3
Contagem de quantas vezes aparece cada par de matérias.
- Denoto por
o número de dias cujo par de matérias é . - Denoto por
o número de dias cujo par é . - Denoto por
o número de dias cujo par é .
Temos a restrição óbvia
pois há 3 dias no total.
Agora, olhando para as aparições de cada matéria ao longo da semana:
- A matéria
aparece em cada dia que seja do tipo ou . Como precisa aparecer exatamente vezes no total, vale
- De forma análoga, para
:
- E para
:
Passo 4
Resolver o sistema para
.
- Somando as três equações das aparições:
O lado esquerdo é
, portanto
que já sabíamos. Para achar valores individuais, subtraímos pares de equações. Por exemplo:
Pela simetria obtemos também
. Como a soma é
, cada um vale
:
Interpretação: ao longo dos 3 dias, cada um dos três pares distintos de matérias deve ocorrer exatamente uma vez.
Passo 5
Contar as atribuições efetivas aos slots (introduzindo a ordem dos dias e dos horários).
- Primeiro, decidir qual par vai em qual dia. Há
pares distintos e dias distintos, então são maneiras de atribuir os pares aos dias. Logo opções. - Em cada dia, o par são duas matérias diferentes e há dois slots distintos (primeiro horário e segundo horário). Para um dia com par, por exemplo,
, há maneiras de colocar no primeiro horário e no segundo ou vice-versa. - Como isso vale para cada um dos
dias, para a ordem dentro dos dias há possibilidades.
Multiplicando as escolhas independentes:
Passo 6
Conclusão interpretativa e checagem rápida.
- A interpretação lógica: cada dia deve combinar duas matérias distintas e, para que cada matéria apareça exatamente duas vezes na semana, cada par de matérias aparece exatamente uma vez em algum dia. Depois é só permutar esses pares entre os dias e escolher a ordem dos horários em cada dia.
- O cálculo deu
, que é uma das alternativas oferecidas.
Resposta
(d)