Uma turma de alunos do 1^{\circ} ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8 h 40 às 10 h 20 e de 10 h 30 às 12 h . As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma?
(a) \quad 9.
(b) 18 .
(c) 36 .
(d) 48 .
(e) 54 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há três dias de aula por semana: segunda, quarta e sexta.
  • Em cada dia há duas aulas (dois horários distintos): 8\!:\!40 10\!:\!20 e 10\!:\!30 12\!:\!00. Logo existem 3 dias \times 2 horários = 6 slots semanais distintos.
  • As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo (vou chamar de A, I e C para ficar curto).
  • Cada matéria tem exatamente 2 aulas por semana e essas duas aulas são em dias diferentes (ou seja, a mesma matéria não pode ocupar os dois slots do mesmo dia).
O que o problema pede:
  • Contar de quantos modos é possível montar o horário da turma, obedecendo as condições acima.

Passo 2

Modelagem e ideia-chave (sem calcular ainda).
  • Cada dia tem dois slots distintos (manhã e final da manhã). Num dia só podem aparecer, pelos enunciados, duas matérias diferentes (pois uma matéria não pode ter as duas aulas no mesmo dia).
  • Portanto, cada dia corresponde a um par de matérias distintas. Como temos 3 dias, teremos exatamente 3 pares (um par por dia).
  • Os pares possíveis (não ordenados) entre as 3 matérias são: \{A,I\},\\ \{A,C\},\\ \{I,C\}. Em princípio, ao longo das 3 dias podemos repetir pares, mas há a restrição de que cada matéria aparece exatamente 2 vezes ao total (duas aulas por semana).
Vou agora usar uma contagem por pares de matérias por dia.

Passo 3

Contagem de quantas vezes aparece cada par de matérias.
  • Denoto por x_{AI} o número de dias cujo par de matérias é \{A,I\}.
  • Denoto por x_{AC} o número de dias cujo par é \{A,C\}.
  • Denoto por x_{IC} o número de dias cujo par é \{I,C\}.
Temos a restrição óbvia
x_{AI}+x_{AC}+x_{IC}=3,
pois há 3 dias no total.
Agora, olhando para as aparições de cada matéria ao longo da semana:
  • A matéria A aparece em cada dia que seja do tipo \{A,I\} ou \{A,C\}. Como A precisa aparecer exatamente 2 vezes no total, vale
x_{AI}+x_{AC}=2.
  • De forma análoga, para I:
x_{AI}+x_{IC}=2.
  • E para C:
x_{AC}+x_{IC}=2.

Passo 4

Resolver o sistema para x_{AI},x_{AC},x_{IC}.
  • Somando as três equações das aparições:
(x_{AI}+x_{AC})+(x_{AI}+x_{IC})+(x_{AC}+x_{IC}) = 2+2+2 = 6.
O lado esquerdo é 2(x_{AI}+x_{AC}+x_{IC}), portanto
2(x_{AI}+x_{AC}+x_{IC}) = 6 \quad\Rightarrow\quad x_{AI}+x_{AC}+x_{IC}=3,
que já sabíamos. Para achar valores individuais, subtraímos pares de equações. Por exemplo:
(x_{AI}+x_{AC})-(x_{AI}+x_{IC})=2-2 \implies x_{AC}-x_{IC}=0 \implies x_{AC}=x_{IC}.
Pela simetria obtemos também x_{AI}=x_{AC}=x_{IC}. Como a soma é 3, cada um vale 1:
x_{AI}=x_{AC}=x_{IC}=1.
Interpretação: ao longo dos 3 dias, cada um dos três pares distintos de matérias deve ocorrer exatamente uma vez.

Passo 5

Contar as atribuições efetivas aos slots (introduzindo a ordem dos dias e dos horários).
  • Primeiro, decidir qual par vai em qual dia. Há 3 pares distintos e 3 dias distintos, então são 3! maneiras de atribuir os pares aos dias. Logo 3! = 6 opções.
  • Em cada dia, o par são duas matérias diferentes e há dois slots distintos (primeiro horário e segundo horário). Para um dia com par, por exemplo, \{A,I\}, há 2 maneiras de colocar A no primeiro horário e I no segundo ou vice-versa.
  • Como isso vale para cada um dos 3 dias, para a ordem dentro dos dias há 2^3=8 possibilidades.
Multiplicando as escolhas independentes:
\text{total} = 3! \times 2^3 = 6 \times 8 = 48.

Passo 6

Conclusão interpretativa e checagem rápida.
  • A interpretação lógica: cada dia deve combinar duas matérias distintas e, para que cada matéria apareça exatamente duas vezes na semana, cada par de matérias aparece exatamente uma vez em algum dia. Depois é só permutar esses pares entre os dias e escolher a ordem dos horários em cada dia.
  • O cálculo deu 48, que é uma das alternativas oferecidas.

Resposta

(d) 48

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