sabendo que \operatorname{sen} x=\frac{7}{11}, determine o valor da expressäo \frac{\operatorname{cossec}^{2} x-\operatorname{cotg}^{2} x+\cos ^{2} x}{(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x) \cdot \operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\frac{\operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x+\cos^{2}x}{(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg}x)\cdot\operatorname{sec} x-\operatorname{tg}x}
sabendo que \operatorname{sen}x=\dfrac{7}{11}. Informação dada: \operatorname{sen}x=\dfrac{7}{11}. Vou assumir que o ângulo x está no primeiro quadrante (ou seja, \cos x>0), que é a hipótese usual quando só nos dão o seno positivo sem indicar quadrante. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos trocar as funções trigonométricas por formas mais simples e usar identidades básicas. Primeiro, lembrar definições e identidades que usaremos:
\csc x=\frac{1}{\sin x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},\qquad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
A identidade fundamental que será útil é
\csc^{2}x-\cot^{2}x=1,
porque
\csc^{2}x-\cot^{2}x=\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x}=1.
Anotei isto porque aparece exatamente a combinação \operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x no numerador.

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior, simplificamos o numerador:
\operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x+\cos^{2}x = 1+\cos^{2}x.
Então a expressão a calcular fica
\frac{1+\cos^{2}x}{(\operatorname{sec} x+\tan x)\operatorname{sec} x-\tan x}.

Passo 4

Vamos simplificar o denominador escrevendo \operatorname{sec} e \tan em termos de seno e cosseno:
(\operatorname{sec} x+\tan x)\operatorname{sec} x-\tan x = \operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\tan x-\tan x.
Agora substituímos \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}:
\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\tan x-\tan x = \frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{\sin x}{\cos^{2}x}-\frac{\sin x}{\cos x}.
Colocando em denominador comum \cos^{2}x,
=\frac{1+\sin x}{\cos^{2}x}-\frac{\sin x}{\cos x}.

Passo 5

Para evitar frações complexas, multiplico numerador e denominador da expressão original por \cos^{2}x. Isso não muda o valor e facilita as contas. Multiplicando:
  • o numerador 1+\cos^{2}x vira \cos^{2}x(1+\cos^{2}x)=\cos^{2}x+\cos^{4}x;
  • o denominador \frac{1+\sin x}{\cos^{2}x}-\frac{\sin x}{\cos x} multiplicado por \cos^{2}x vira
1+\sin x-\cos x\sin x.
Portanto a expressão equivalente é
\frac{\cos^{2}x+\cos^{4}x}{1+\sin x-\cos x\sin x}.
(Isto é só uma forma mais prática para calcular numéricamente com os valores de \sin x e \cos x.)

Passo 6

Agora calculamos \cos x a partir de \sin x=\dfrac{7}{11}. Usamos a identidade \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Assim
\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-\left(\frac{7}{11}\right)^{2}=1-\frac{49}{121}=\frac{72}{121}.
Como assumimos x no primeiro quadrante, \cos x>0, então
\cos x=\sqrt{\frac{72}{121}}=\frac{6\sqrt{2}}{11}.

Passo 7

Calculemos agora as partes numéricas da expressão usando esses valores.
Primeiro o numerador (na forma multiplicada por \cos^{2}x que obtivemos no passo 5):
\cos^{2}x+\cos^{4}x=\cos^{2}x(1+\cos^{2}x)=\frac{72}{121}\left(1+\frac{72}{121}\right)=\frac{72}{121}\cdot\frac{193}{121}=\frac{13896}{14641}.
Agora o denominador (forma multiplicada por \cos^{2}x):
1+\sin x-\cos x\sin x=1+\frac{7}{11}-\frac{6\sqrt{2}}{11}\cdot\frac{7}{11}.
Calcule passo a passo:
1+\frac{7}{11}=\frac{18}{11},
\cos x\sin x=\frac{6\sqrt{2}}{11}\cdot\frac{7}{11}=\frac{42\sqrt{2}}{121}.
Colocando tudo sobre 121:
1+\sin x-\cos x\sin x=\frac{198}{121}-\frac{42\sqrt{2}}{121}=\frac{6(33-7\sqrt{2})}{121}.

Passo 8

Agora dividimos numerador por denominador (usando as formas que já simplificamos):
\frac{\displaystyle\frac{13896}{14641}}{\displaystyle\frac{6(33-7\sqrt{2})}{121}} =\frac{13896}{14641}\cdot\frac{121}{6(33-7\sqrt{2})}.
Simplificando 14641=121\cdot121 e cancelando um 121:
=\frac{13896}{121\cdot6(33-7\sqrt{2})}=\frac{2316}{121(33-7\sqrt{2})},
pois \dfrac{13896}{6}=2316.

Passo 9

Se quiseres, dá para racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por 33+7\sqrt{2}. Fazendo isso obtemos a forma com denominador racional:
\frac{2316}{121(33-7\sqrt{2})}=\frac{2316(33+7\sqrt{2})}{121\big(33^{2}-(7\sqrt{2})^{2}\big)} =\frac{76428+16212\sqrt{2}}{119911},
onde calculei 33^{2}- (7\sqrt{2})^{2}=1089-98=991 e 121\cdot991=119911. Ambas as formas são equivalentes; a forma mais compacta é a anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{2316}{121(33-7\sqrt{2})}

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