sabendo que
, determine o valor da expressäo
Passo 1
O enunciado pede o valor da expressão
sabendo que
. Informação dada:
. Vou assumir que o ângulo
está no primeiro quadrante (ou seja,
), que é a hipótese usual quando só nos dão o seno positivo sem indicar quadrante. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos trocar as funções trigonométricas por formas mais simples e usar identidades básicas. Primeiro, lembrar definições e identidades que usaremos:
A identidade fundamental que será útil é
porque
Anotei isto porque aparece exatamente a combinação
no numerador.
Passo 3
Usando a identidade do passo anterior, simplificamos o numerador:
Então a expressão a calcular fica
Passo 4
Vamos simplificar o denominador escrevendo
e
em termos de seno e cosseno:
Agora substituímos
e
:
Colocando em denominador comum
,
Passo 5
Para evitar frações complexas, multiplico numerador e denominador da expressão original por
. Isso não muda o valor e facilita as contas. Multiplicando:
- o numerador
vira ; - o denominador
multiplicado por vira
Portanto a expressão equivalente é
(Isto é só uma forma mais prática para calcular numéricamente com os valores de
e
.)
Passo 6
Agora calculamos
a partir de
. Usamos a identidade
. Assim
Como assumimos
no primeiro quadrante,
, então
Passo 7
Calculemos agora as partes numéricas da expressão usando esses valores.
Primeiro o numerador (na forma multiplicada por
que obtivemos no passo 5):
Agora o denominador (forma multiplicada por
):
Calcule passo a passo:
Colocando tudo sobre
:
Passo 8
Agora dividimos numerador por denominador (usando as formas que já simplificamos):
Simplificando
e cancelando um
:
pois
.
Passo 9
Se quiseres, dá para racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
. Fazendo isso obtemos a forma com denominador racional:
onde calculei
e
. Ambas as formas são equivalentes; a forma mais compacta é a anterior.