Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar:
|(2 u-v) cdot(u-2 v)|

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve vetores. Sabemos que o vetor u tem magnitude igual a √2, o vetor v tem magnitude 3, e o ângulo entre eles é radianos. A gente precisa calcular o valor absoluto do produto escalar de com . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto escalar e a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a e b, o produto escalar deles é dado por:
a cdot b = |a| , |b| cos(theta)
Onde e são as magnitudes dos vetores e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar (2u - v) cdot (u - 2v) = 2u cdot u - 4u cdot v - v cdot u + 2v cdot v . Para isso, vamos expandir essa expressão usando a propriedade distributiva do produto escalar:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo separadamente:
  1. u cdot v = raiz2 times 3 times (-raiz22) = -3
Vamos calcular . Sabemos que está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo, e seu valor é . Então:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão expandida:
2u cdot u = 2 times 2 = 4
-4u cdot v = -4 times (-3) = 12
-v cdot u = -(-3) = 3
2v cdot v = 2 times 9 = 18
Agora, somamos todos esses termos:
4 + 12 + 3 + 18 = 37

Resposta

O valor absoluto de é 37.

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