Sabendo que
\|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=3 e \vec{u} \cdot \vec{v}=-1, calcular:
(2 \vec{v} \cdot \vec{u}) \cdot(2 \vec{v})

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados:
    • \|\vec{u}\|=2
    • \|\vec{v}\|=3
    • \vec{u}\cdot\vec{v}=-1
  • O que pedir: calcular a expressão
    (2\vec{v}\cdot\vec{u})\cdot(2\vec{v}).
    Observação de interpretação (importante): a primeira parte 2\vec{v}\cdot\vec{u} é um número (um escalar). O ponto entre esse escalar e 2\vec{v} representa a multiplicação do escalar pelo vetor 2\vec{v} (ou seja, escala o vetor). Em outras palavras, vamos calcular primeiro o escalar 2(\vec{v}\cdot\vec{u}) e depois multiplicá-lo pelo vetor 2\vec{v}.

Passo 2

Relembrando propriedades que vamos usar (com explicação simples):
  • A operação produto escalar é comutativa: \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
  • O produto escalar é linear em cada argumento, então fator escalar pode sair do produto: (c\vec{a})\cdot\vec{b}=c(\vec{a}\cdot\vec{b}),onde c é um número real. Isso vem da definição do produto escalar como soma de produtos de componentes; multiplicar um vetor por constante multiplica cada componente, por isso o fator sai.
Aplicando isso para calcular 2\vec{v}\cdot\vec{u}:
2\vec{v}\cdot\vec{u}=2(\vec{v}\cdot\vec{u}).
Como nos deram \vec{v}\cdot\vec{u}=-1, temos
2\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)=-2.

Passo 3

Agora temos o escalar -2. A expressão original é esse escalar multiplicando o vetor 2\vec{v}. Multiplicação de escalar por vetor é associativa em escalares, então:
(-2)\cdot(2\vec{v}) = (-2)\times 2 \;\vec{v}.
Calculando o produto escalar dos escalares:
(-2)\times 2 = -4,
portanto o resultado é o vetor
-4\vec{v}.

Passo 4

Interpretação final (para fixar): o resultado é o vetor na direção de \vec{v} invertida (sinal negativo) com módulo quatro vezes o módulo de \vec{v}. Se quiser o módulo numérico:
\| -4\vec{v}\| = 4\|\vec{v}\| = 4\cdot 3 = 12.

Resposta

-4\vec{v}

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