Dados os vetores \vec{u}=(2,-3,-1) e \vec{v}=(1,-1,4), calcular:
2 \vec{u} \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-3,-1) e \vec{v}=(1,-1,4) e pede para calcular o produto escalar 2\vec{u}\cdot\vec{v}.
Informações relevantes:
  • \vec{u} tem componentes \;u_1=2,\;u_2=-3,\;u_3=-1.\n
  • \vec{v} tem componentes \;v_1=1,\;v_2=-1,\;v_3=4.\n
  • A quantidade pedida é 2\vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 2

Lembrando a definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada termo é o produto das componentes correspondentes e depois somam-se os três produtos. Isso dá um número real (escalar).

Passo 3

Também existe a propriedade de linearidade (ou homogeneidade) no produto escalar em relação a escalares: para todo escalar c e vetores \vec{a},\vec{b},
(c\vec{a})\cdot\vec{b}=c(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Essa propriedade vem diretamente da definição componente a componente, porque multiplicar \vec{a} por c multiplica cada componente por c, e esse fator c pode ser colocado fora da soma.

Passo 4

Método direto 1 (escalar primeiro): calcular 2\vec{u} multiplicando cada componente de \vec{u} por 2:
2\vec{u}=(2\cdot2,\;2\cdot(-3),\;2\cdot(-1))=(4,-6,-2).

Passo 5

Agora aplicar a definição do produto escalar entre 2\vec{u}=(4,-6,-2) e \vec{v}=(1,-1,4):
2\vec{u}\cdot\vec{v}=4\cdot1+(-6)\cdot(-1)+(-2)\cdot4.
Calculemos termo a termo:
4\cdot1=4,\qquad (-6)\cdot(-1)=6,\qquad (-2)\cdot4=-8.
Somando:
4+6-8=2.

Passo 6

Método alternativo (usar linearidade): primeiro calcular \vec{u}\cdot\vec{v} e depois multiplicar por 2. Temos
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot4=2+3-4=1.
Então, pela propriedade da Passo 3,
2\vec{u}\cdot\vec{v}=2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2\cdot1=2,
confirmando o resultado do método direto.

Resposta

2

Exercícios relacionados