Calcular \|\vec{u}+\vec{v}\| e (\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}), sabendo que \|\vec{u}\|=4,\|\vec{v}\|=3 e o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 60^{\circ}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular \|\vec{u}+\vec{v}\|.
  • Calcular (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
Informações dadas:
  • \|\vec{u}\|=4.
  • \|\vec{v}\|=3.
  • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 60^\circ.

Passo 2

Recordando fórmulas úteis (explicando cada coisa):
  • Produto escalar em termos de norma e ângulo: \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são os comprimentos (normas) dos vetores.
    • Intuição rápida: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; o cosseno aparece por causa dessa projeção.
  • Norma ao quadrado via produto escalar: \|\vec{a}\|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}.
  • Expansão do quadrado da soma (usando distributividade do produto escalar): \|\vec{u}+\vec{v}\|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.Isso é análogo à identidade escalar (x+y)^2=x^2+y^2+2xy, só que com produto escalar.

Passo 3

Calcular primeiro \vec{u}\cdot\vec{v} usando a fórmula do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos 60^\circ =4\cdot 3\cdot \cos 60^\circ.
Como \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, temos
\vec{u}\cdot\vec{v}=4\cdot 3\cdot \tfrac{1}{2}=12\cdot \tfrac{1}{2}=6.

Passo 4

Agora aplicamos a identidade para \|\vec{u}+\vec{v}\|^2:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
Substituindo os valores conhecidos:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=4^2+3^2+2\cdot 6=16+9+12=37.
Portanto
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{37}.
(Deixar em forma de raiz é o jeito certo quando o resultado não é quadrado perfeito.)

Passo 5

Agora calculamos (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}). Expandindo por distributividade:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}.
Como o produto escalar é comutativo ( \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}), os termos com \vec{u}\cdot\vec{v} se cancelam:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2.
Substituindo \|\vec{u}\|^2=4^2=16 e \|\vec{v}\|^2=3^2=9:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=16-9=7.

Passo 6

Resumo rápido de técnica para a prova (fica de cola mental):
  • Para \|\vec{u}+\vec{v}\|, use a identidade do quadrado da soma com o produto escalar (ou a “lei dos cossenos” em versão vetorial).
  • Para produtos do tipo (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}), expanda e aproveite comutatividade para cancelar termos — frequentemente sobra diferença de normas ao quadrado.
Você mandou bem trazendo um exercício clássico — esses passos são padrão e rápidos na prova. Vai dar certo!

Resposta

\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{37}
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=7

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