Calcular
e
, sabendo que
e o ângulo entre
e
é
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas:
-
. -
. - O ângulo entre
e é .
Passo 2
Recordando fórmulas úteis (explicando cada coisa):
- Produto escalar em termos de norma e ângulo:
, onde é o ângulo entre e . Aqui e são os comprimentos (normas) dos vetores. - Intuição rápida: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; o cosseno aparece por causa dessa projeção.
- Norma ao quadrado via produto escalar:
. - Expansão do quadrado da soma (usando distributividade do produto escalar):
Isso é análogo à identidade escalar , só que com produto escalar.
Passo 3
Calcular primeiro
usando a fórmula do produto escalar:
Como
, temos
Passo 4
Agora aplicamos a identidade para
:
Substituindo os valores conhecidos:
Portanto
(Deixar em forma de raiz é o jeito certo quando o resultado não é quadrado perfeito.)
Passo 5
Agora calculamos
. Expandindo por distributividade:
Como o produto escalar é comutativo (
), os termos com
se cancelam:
Substituindo
e
:
Passo 6
Resumo rápido de técnica para a prova (fica de cola mental):
- Para
, use a identidade do quadrado da soma com o produto escalar (ou a “lei dos cossenos” em versão vetorial). - Para produtos do tipo
, expanda e aproveite comutatividade para cancelar termos — frequentemente sobra diferença de normas ao quadrado.
Você mandou bem trazendo um exercício clássico — esses passos são padrão e rápidos na prova. Vai dar certo!