Sabendo que |\vec{u}|=2,|\vec{v}|=3 e \vec{u} \cdot \vec{v}=-1, calcular:
(\vec{u}+3 \vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})

Passo 1

Dados fornecidos:
|\vec{u}|=2, |\vec{v}|=3 e \vec{u}\cdot\vec{v}=-1.
O que o enunciado pede:
Calcular o produto escalar (\vec{u}+3\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
  • Produto escalar: para dois vetores \vec{a} e \vec{b}, \vec{a}\cdot\vec{b} é um número (escalar). Ex.: (1,0)\cdot(0,1)=0.
  • Distributividade em relação à soma: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}.
Isto permite “abrir parênteses” como numa multiplicação normal.
  • Comutatividade: \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}. Isso ajuda a juntar termos semelhantes.
  • Relação com norma (magnitude): para qualquer vetor \vec{a},
\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2.
Aqui |\vec{a}| é o comprimento do vetor \vec{a}.

Passo 3

Aplicando a distributividade para expandir o produto escalar pedido:
(\vec{u}+3\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u} - \vec{u}\cdot\vec{v} + 3\vec{v}\cdot\vec{u} - 3\vec{v}\cdot\vec{v}.
Usando a comutatividade \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, agrupamos termos semelhantes:
\vec{u}\cdot\vec{u} + (-\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{u}\cdot\vec{v}) - 3\vec{v}\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot\vec{u} + 2\vec{u}\cdot\vec{v} - 3\vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 4

Agora substituímos as quantidades que conhecemos:
\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2=2^2=4,
\vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2=3^2=9,
\vec{u}\cdot\vec{v}=-1.
Substituindo em \vec{u}\cdot\vec{u} + 2\vec{u}\cdot\vec{v} - 3\vec{v}\cdot\vec{v} obtemos:
4 + 2(-1) - 3\cdot 9 = 4 - 2 - 27.

Passo 5

Some os termos finais (faça devagar na prova): 4 - 2 - 27 é a última expressão a calcular para achar o escalar pedido. Força aí — já está quase 😉

Resposta

-25

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