Sabendo que em uma plantaçio de laranja a razīo de mudança do número de árvores contaminadas pelo ácaro da ferrugem é proporcional tanto ao número de arvores infectadas quanto ao número de árvores nāo infectadas e que
e
representam, respectivamente, em relaçāo à populaçīo de árvores, a populaçāo total, o número de indivíduos infectados no instante de tempo
(medido em dias) e o número de individuos infectados no instante inicial,
, pede-se:
a) Escreva e classifique,(número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) a equaçio diferencial associada a este problema
b) Resolva a equaçāo diferencial satisfazendo a condiçāo inicial
.
c) Calcule o limite
, e utilize este resultado para analisar se o modelo descreveu com precisiòo a realidade.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
-
é a população total de árvores (constante). -
é o número de indivíduos infectados no instante (com medido em dias). -
é o número de indivíduos infectados no instante inicial, isto é, . - A taxa de variação do número de árvores contaminadas é proporcional tanto ao número de infectados quanto ao número de não infectados.
-
-
O que o enunciado pede:
- (a) Escrever a equação diferencial associada e classificá‑la quanto ao número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
- (b) Resolver a equação diferencial com a condição inicial
. - (c) Calcular
e comentar se o modelo descreve a realidade com precisão.
Passo 2
Construção da equação diferencial a partir da regra de proporcionalidade.
- A frase “a taxa de mudança é proporcional tanto ao número de infectados quanto ao número de não infectados” significa que existe uma constante de proporcionalidade
(positiva) tal que a taxa é proporcional ao produto . Em fórmulas:
onde
tem unidade “por dia por árvore” de forma que o produto dá razão por dia.
Classificação da equação
:
- Número de variáveis independentes: uma,
. - Ordem: equação de primeira ordem (aparece
, nenhuma derivada de ordem superior). - Linearidade: não é linear em
(há termo ). Logo é uma equação diferencial ordinária não linear. - Homogeneidade: a noção de “homogeneidade” habitual refere‑se a equações lineares; aqui, por ser não linear, não se classifica como linear homogênea/Não‑homogênea. Observação útil: é uma equação autônoma (não aparece explicitamente
no lado direito) e separável. - Coeficientes: os parâmetros
e são constantes (coeficientes constantes do modelo). - Equilíbrios: as soluções constantes (pontos de equilíbrio) satisfazem
, logo e .
Passo 3
Resolver a equação por separação de variáveis (método apropriado e simples aqui).
Partimos de
Como é separável, escrevemos os
de um lado e
do outro:
Agora fazemos a decomposição em frações parciais para integrar o lado esquerdo. Notamos que
pois
Portanto a integral fica
Integramos cada termo:
onde
é constante de integração. Simplificando o logaritmo:
Passo 4
Isolar
e aplicar a condição inicial.
Multiplicando por
e exponenciando, obtemos
com
. Exponenciando:
onde
é constante positiva (desde que
entre
e
; se
tiver outros sinais a constante pode ser negativa, mas fisicamente consideramos
). Isolando
:
Agora usamos a condição inicial
para determinar
:
Substituindo de volta:
Essa é a forma canônica da solução logística. Observações práticas:
- Se
então e . - Se
então na forma anterior, mas em termos da equação original é solução constante.
Passo 5
Cálculo do limite
e interpretação.
Usando a forma
note que, para
e
, tem‑se
quando
. Assim
Casos limites:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Interpretação: para qualquer
positivo (não nulo) e menor que
, o modelo prevê que a infecção invade toda a população: no longo prazo
, ou seja, todas as árvores ficam infectadas.
Passo 6
Análise da precisão do modelo e limitações — coisa de prova e também de prática.
- O modelo é o modelo logístico com crescimento dado por contato entre infectados e suscetíveis (sem recuperação nem remoção). Ele assume:
- mistura homogênea entre árvores (qualquer árvore infectada pode infectar qualquer outra com mesma probabilidade),
- taxa de transmissão constante
ao longo do tempo, - população total
fixa (nenhuma árvore morre ou é plantada), - nenhuma estratégia de controle (poda, pesticida, isolamento) e nenhuma recuperação natural.
- Consequência: o modelo prevê que, se houver pelo menos um infectado inicial
, a infecção se espalhará até atingir toda a população . Isso pode ser realista se não houver intervenção e se as hipóteses acima forem razoáveis; mas na maioria dos casos reais há remoção, recuperação, variação sazonal, heterogeneidade espacial, ou restrições que impedem infecção completa. Portanto o modelo é útil como primeiro passo qualitativo, mas pode superestimar a prevalência final; para melhor ajuste seria preciso incluir termos de recuperação, mortalidade, controle ou estrutura espacial.
Resposta
(a)
. Independente:
(uma variável); ordem: primeira; linearidade: não linear (produto
); homogeneidade: não aplicável na classificação linear (é autônoma e separável); coeficientes:
e
constantes.
(b)
(com
).
(c)
para
(se
a solução permanece
). O modelo prevê infecção de toda a população na ausência de recuperação ou controle, o que pode ser irrealista sem considerar mecanismos adicionais.