Sabendo que em uma plantaçio de laranja a razīo de mudança do número de árvores contaminadas pelo ácaro da ferrugem é proporcional tanto ao número de arvores infectadas quanto ao número de árvores nāo infectadas e que P, x(t) e x_{0} representam, respectivamente, em relaçāo à populaçīo de árvores, a populaçāo total, o número de indivíduos infectados no instante de tempo t (medido em dias) e o número de individuos infectados no instante inicial, t=0, pede-se: (0.5) a) Escreva e classifique,(número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) a equaçio diferencial associada a este problema
(0.75) b) Resolva a equaçāo diferencial satisfazendo a condiçāo inicial x(0)=x_{0}.
(0.75) c) Calcule o limite \lim _{t \rightarrow \infty} x(t), e utilize este resultado para analisar se o modelo descreveu com precisiòo a realidade.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • P é a população total de árvores (constante).
    • x(t) é o número de indivíduos infectados no instante t (com t medido em dias).
    • x_{0} é o número de indivíduos infectados no instante inicial, isto é, x(0)=x_{0}.
    • A taxa de variação do número de árvores contaminadas é proporcional tanto ao número de infectados quanto ao número de não infectados.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Escrever a equação diferencial associada e classificá‑la quanto ao número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
    • (b) Resolver a equação diferencial com a condição inicial x(0)=x_{0}.
    • (c) Calcular \lim_{t\to\infty} x(t) e comentar se o modelo descreve a realidade com precisão.

Passo 2

Construção da equação diferencial a partir da regra de proporcionalidade.
  • A frase “a taxa de mudança é proporcional tanto ao número de infectados quanto ao número de não infectados” significa que existe uma constante de proporcionalidade k (positiva) tal que a taxa \dfrac{dx}{dt} é proporcional ao produto x(t)\cdot (P-x(t)). Em fórmulas:
\frac{dx}{dt}=k\,x(t)\bigl(P-x(t)\bigr),
onde k>0 tem unidade “por dia por árvore” de forma que o produto dá razão por dia.
Classificação da equação \dfrac{dx}{dt}=kx(P-x):
  • Número de variáveis independentes: uma, t.
  • Ordem: equação de primeira ordem (aparece \dfrac{dx}{dt}, nenhuma derivada de ordem superior).
  • Linearidade: não é linear em x (há termo x^2). Logo é uma equação diferencial ordinária não linear.
  • Homogeneidade: a noção de “homogeneidade” habitual refere‑se a equações lineares; aqui, por ser não linear, não se classifica como linear homogênea/Não‑homogênea. Observação útil: é uma equação autônoma (não aparece explicitamente t no lado direito) e separável.
  • Coeficientes: os parâmetros k e P são constantes (coeficientes constantes do modelo).
  • Equilíbrios: as soluções constantes (pontos de equilíbrio) satisfazem kx(P-x)=0, logo x=0 e x=P.

Passo 3

Resolver a equação por separação de variáveis (método apropriado e simples aqui).
Partimos de
\frac{dx}{dt}=k\,x(P-x).
Como é separável, escrevemos os x de um lado e t do outro:
\frac{dx}{x(P-x)}=k\,dt.
Agora fazemos a decomposição em frações parciais para integrar o lado esquerdo. Notamos que
\frac{1}{x(P-x)}=\frac{1}{P}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{P-x}\right),
pois
\frac{1}{P}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{P-x}\right)=\frac{1}{P}\cdot\frac{P}{x(P-x)}=\frac{1}{x(P-x)}.
Portanto a integral fica
\int \frac{dx}{x(P-x)}=\frac{1}{P}\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{P-x}\right)\,dx.
Integramos cada termo:
\frac{1}{P}\left(\ln|x|-\ln|P-x|\right)=\int k\,dt = k t + C,
onde C é constante de integração. Simplificando o logaritmo:
\frac{1}{P}\ln\!\left(\frac{x}{P-x}\right)=k t + C.

Passo 4

Isolar x(t) e aplicar a condição inicial.
Multiplicando por P e exponenciando, obtemos
\ln\!\left(\frac{x}{P-x}\right)=kPt + C_1
com C_1=PC. Exponenciando:
\frac{x}{P-x}=C_2 e^{kPt},
onde C_2=e^{C_1} é constante positiva (desde que x entre 0 e P; se x tiver outros sinais a constante pode ser negativa, mas fisicamente consideramos 0\le x\le P). Isolando x:
x(t)=\frac{P\,C_2 e^{kPt}}{1+C_2 e^{kPt}}.
Agora usamos a condição inicial x(0)=x_{0} para determinar C_2:
x(0)=\frac{P\,C_2}{1+C_2}=x_{0}\quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{x_{0}}{P-x_{0}}.
Substituindo de volta:
x(t)=\frac{P\displaystyle\frac{x_{0}}{P-x_{0}} e^{kPt}}{1+\displaystyle\frac{x_{0}}{P-x_{0}} e^{kPt}} =\frac{P}{1+\displaystyle\frac{P-x_{0}}{x_{0}} e^{-kPt}}.
Essa é a forma canônica da solução logística. Observações práticas:
  • Se x_{0}=0 então C_2=0 e x(t)\equiv 0.
  • Se x_{0}=P então C_2\to\infty na forma anterior, mas em termos da equação original x(t)\equiv P é solução constante.

Passo 5

Cálculo do limite \lim_{t\to\infty} x(t) e interpretação.
Usando a forma
x(t)=\frac{P}{1+\displaystyle\frac{P-x_{0}}{x_{0}} e^{-kPt}},
note que, para k>0 e 0<x_{0}<P, tem‑se e^{-kPt}\to 0 quando t\to\infty. Assim
\lim_{t\to\infty} x(t)=\frac{P}{1+0}=P.
Casos limites:
  • Se x_{0}=0, então x(t)\equiv 0 e \lim_{t\to\infty}x(t)=0.
  • Se x_{0}=P, então x(t)\equiv P e \lim_{t\to\infty}x(t)=P.
Interpretação: para qualquer x_{0} positivo (não nulo) e menor que P, o modelo prevê que a infecção invade toda a população: no longo prazo x(t)\to P, ou seja, todas as árvores ficam infectadas.

Passo 6

Análise da precisão do modelo e limitações — coisa de prova e também de prática.
  • O modelo é o modelo logístico com crescimento dado por contato entre infectados e suscetíveis (sem recuperação nem remoção). Ele assume:
    • mistura homogênea entre árvores (qualquer árvore infectada pode infectar qualquer outra com mesma probabilidade),
    • taxa de transmissão constante k ao longo do tempo,
    • população total P fixa (nenhuma árvore morre ou é plantada),
    • nenhuma estratégia de controle (poda, pesticida, isolamento) e nenhuma recuperação natural.
  • Consequência: o modelo prevê que, se houver pelo menos um infectado inicial (x_{0}>0), a infecção se espalhará até atingir toda a população P. Isso pode ser realista se não houver intervenção e se as hipóteses acima forem razoáveis; mas na maioria dos casos reais há remoção, recuperação, variação sazonal, heterogeneidade espacial, ou restrições que impedem infecção completa. Portanto o modelo é útil como primeiro passo qualitativo, mas pode superestimar a prevalência final; para melhor ajuste seria preciso incluir termos de recuperação, mortalidade, controle ou estrutura espacial.

Resposta

(a) \dfrac{dx}{dt}=k\,x(P-x). Independente: t (uma variável); ordem: primeira; linearidade: não linear (produto x^2); homogeneidade: não aplicável na classificação linear (é autônoma e separável); coeficientes: k e P constantes.
(b) \displaystyle x(t)=\frac{P}{1+\dfrac{P-x_{0}}{x_{0}}e^{-kPt}} (com x(0)=x_{0}).
(c) \displaystyle \lim_{t\to\infty}x(t)=P para 0<x_{0}<P (se x_{0}=0 a solução permanece 0). O modelo prevê infecção de toda a população na ausência de recuperação ou controle, o que pode ser irrealista sem considerar mecanismos adicionais.

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