Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
y=\sqrt{9-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{9-x^{2}} e pede três coisas:
  • determinar o conjunto domínio (todos os x reais para os quais a função está definida);
  • determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de y);
  • descrever o gráfico (o conjunto de pares (x,y) que satisfazem a relação).
Informações dadas: a expressão é uma raiz quadrada real comum \sqrt{\;\cdot\;} aplicada ao radicando 9-x^{2}.

Passo 2

Regra fundamental para domínio: a raiz quadrada real está definida apenas quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que
9-x^{2}\ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Resolver 9-x^{2}\ge 0:
9-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 9.
Para x^{2}\le 9 temos |x|\le 3, portanto
-3\le x\le 3.
Conclusão: o domínio da função é o intervalo fechado [-3,3]. (As extremidades x=\pm 3 são permitidas porque 9-x^{2}=0 e \sqrt{0}=0.)

Passo 4

Agora a imagem (range). Pela definição da função, para todo x do domínio temos y=\sqrt{9-x^{2}}, logo y\ge 0 sempre. Vamos achar o máximo e o mínimo de y quando x\in[-3,3].
  • Valor máximo: ocorre quando o radicando é máximo. Como 9-x^{2} é máximo em x=0, temos y_{\max}=\sqrt{9-0^{2}}=\sqrt{9}=3.
  • Valor mínimo: ocorre quando o radicando é mínimo (mas ainda \ge0), que é 0 nos pontos x=\pm3; assim y_{\min}=\sqrt{0}=0.
Portanto 0\le y\le 3. Resta mostrar que todo valor intermediário é atingido: dado qualquer y_{0}\in[0,3], escolha x=\pm\sqrt{9-y_{0}^{2}} (note que 9-y_{0}^{2}\ge0), então esse x pertence a [-3,3] e satisfaz \sqrt{9-x^{2}}=y_{0}. Logo a imagem é o intervalo fechado [0,3].

Passo 5

Descrição do gráfico. A relação y=\sqrt{9-x^{2}} é equivalente, ao elevar ao quadrado (com cuidado), a
y^{2}=9-x^{2}\qquad\Longleftrightarrow\qquad x^{2}+y^{2}=9,
com a restrição extra y\ge 0 (porque a raiz principal é não-negativa). Assim o gráfico é o semicírculo superior (metade superior) do círculo de raio 3 centrado na origem. Em notação de conjunto:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=9,\;y\ge 0\}.
Uma parametrização útil (se precisar desenhar) é
x=3\cos t,\qquad y=3\sin t,\qquad t\in[0,\pi].

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): quando ver y=\sqrt{a-x^{2}} lembre que o domínio vem de a-x^{2}\ge0 e o gráfico frequentemente será um semicírculo (ou parte dele) do círculo x^{2}+y^{2}=a, com a condição y\ge0.

Resposta

Domínio: [-3,3]
Imagem: [0,3]
Gráfico: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=9,\;y\ge 0\}

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