Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- determinar o conjunto domínio (todos os
reais para os quais a função está definida); - determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
); - descrever o gráfico (o conjunto de pares
que satisfazem a relação).
Informações dadas: a expressão é uma raiz quadrada real comum
aplicada ao radicando
.
Passo 2
Regra fundamental para domínio: a raiz quadrada real está definida apenas quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 3
Resolver
:
Para
temos
, portanto
Conclusão: o domínio da função é o intervalo fechado
. (As extremidades
são permitidas porque
e
.)
Passo 4
Agora a imagem (range). Pela definição da função, para todo
do domínio temos
, logo
sempre. Vamos achar o máximo e o mínimo de
quando
.
- Valor máximo: ocorre quando o radicando é máximo. Como
é máximo em , temos . - Valor mínimo: ocorre quando o radicando é mínimo (mas ainda
), que é nos pontos ; assim .
Portanto
. Resta mostrar que todo valor intermediário é atingido: dado qualquer
, escolha
(note que
), então esse
pertence a
e satisfaz
. Logo a imagem é o intervalo fechado
.
Passo 5
Descrição do gráfico. A relação
é equivalente, ao elevar ao quadrado (com cuidado), a
com a restrição extra
(porque a raiz principal é não-negativa). Assim o gráfico é o semicírculo superior (metade superior) do círculo de raio
centrado na origem. Em notação de conjunto:
Uma parametrização útil (se precisar desenhar) é
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga): quando ver
lembre que o domínio vem de
e o gráfico frequentemente será um semicírculo (ou parte dele) do círculo
, com a condição
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico:
Imagem:
Gráfico: