1. Sabendo-se que no ponto A(0,1) o gráfico da função f(x)=\exp \left(x^{2}+2 x\right) possui a mesma reta tangente que o de uma certa função g, determine g^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\exp\bigl(x^{2}+2x\bigr) e diz que, no ponto A(0,1), o gráfico de f tem a mesma reta tangente que o de outra função g. Como a inclinação da reta tangente em x=0 é dada por f'(0) e deve coincidir com g'(0), vamos calcular f'(x) e depois avaliá-lo em x=0.

Passo 2

Para derivar f(x)=\exp\bigl(x^{2}+2x\bigr) usamos a regra da cadeia: se u(x)=x^{2}+2x, então \bigl(\exp(u)\bigr)'=\exp(u)\,u'. Aqui u'(x)=2x+2.
f'(x)=\exp\bigl(x^{2}+2x\bigr)\cdot(2x+2).

Passo 3

Agora avaliamos em x=0:
f'(0)=\exp(0^{2}+2\cdot0)\cdot(2\cdot0+2)=\exp(0)\cdot2=1\cdot2=2.
Como a reta tangente de g em x=0 tem a mesma inclinação, concluímos que
g'(0)=2.

Resposta

g'(0)=2

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