Sabendo que a população de certo município foi de 120000 habitantes em 1990 e que essa população vem crescendo a uma taxa de 3 \% ao ano, determine a melhor aproximação para o número de habitantes desse munićípio em 1993.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma quantidade clara:
  • População em \,1990: \,P_0 = 120000 habitantes.
  • Taxa de crescimento: \,3\% ao ano.
  • Pergunta: qual a melhor aproximação para a população em \,1993?
    Lista resumida das informações relevantes:
  • Valor inicial: \,P_0 = 120000.
  • Taxa anual: \,r = 3\% = 0{,}03.
  • Número de anos entre \,1990 e \,1993: \,t = 1993 - 1990 = 3 anos.
    O que se pede é a população após \,t=3 anos de crescimento a \,3\% ao ano.

Passo 2

Entendendo o modelo de crescimento anual (a ideia passo a passo).
Quando uma população cresce a uma taxa fixa de \,r por ano (em porcentagem anual composta), cada ano a população é multiplicada por um fator \,1+r. Se chamarmos a população no ano k de \,P_k, então vale a relação de recorrência:
P_{k+1}=P_k(1+r).
Explicando: \,P_k é a população no ano k; \,r é a taxa decimal (por exemplo \,0{,}03 para 3\%). O termo \,P_k r é o aumento absoluto no ano, e somando a \,P_k \,P_k(1+r).

Passo 3

Passando da recorrência para a fórmula fechada.
Aplicando a relação ano a ano \,t vezes, obtemos a fórmula geral do crescimento composto:
P(t)=P_0(1+r)^t,
onde:
  • \,P_0 é a população inicial (no ano base, aqui \,1990),
  • \,r é a taxa decimal por ano,
  • \,t é o número de anos transcorridos desde o ano inicial,
  • \,P(t) é a população após \,t anos.
    No nosso caso temos \,P_0=120000, \,r=0{,}03 e \,t=3. Então:
P(3)=120000(1+0{,}03)^3 = 120000(1{,}03)^3.

Passo 4

Calcular o fator de crescimento (1{,}03)^3 passo a passo (sem pular etapas).
Primeiro:
(1{,}03)^2 = 1{,}03 \times 1{,}03 = 1{,}0609.
Depois:
(1{,}03)^3 = (1{,}03)^2 \times 1{,}03 = 1{,}0609 \times 1{,}03.
Fazendo a multiplicação:
1{,}0609 \times 1{,}03 = 1{,}0609 + 1{,}0609\times 0{,}03 = 1{,}0609 + 0{,}031827 = 1{,}092727.
Portanto o fator composto em \,3 anos é (1{,}03)^3 = 1{,}092727.

Passo 5

Aplicar o fator à população inicial e calcular o valor numérico (contas mostradas):
P(3)=120000 \times 1{,}092727.
Separando a multiplicação:
120000 \times 1{,}092727 = 120000 + 120000\times 0{,}092727.
Calculemos a parte do aumento:
120000\times 0{,}092727 = 120000 \times 0{,}092727 = 11127{,}24.
Somando:
120000 + 11127{,}24 = 131127{,}24.
Assim, após \,3 anos obtemos \,131127{,}24 habitantes (valor teórico com casas decimais).

Passo 6

Interpretação e arredondamento final (o que faz sentido para número de habitantes).
População deve ser dada em número inteiro de pessoas. A melhor aproximação inteira é obtida arredondando \,131127{,}24 para o inteiro mais próximo. Vou fornecer somente o resultado final na seção indicada.

Resposta

131127

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