Sabendo que a população de certo município foi de 120000 habitantes em 1990 e que essa população vem crescendo a uma taxa de
ao ano, determine a melhor aproximação para o número de habitantes desse munićípio em 1993.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma quantidade clara:
- População em
: habitantes. - Taxa de crescimento:
ao ano. - Pergunta: qual a melhor aproximação para a população em
?
Lista resumida das informações relevantes: - Valor inicial:
. - Taxa anual:
. - Número de anos entre
e : anos.
O que se pede é a população apósanos de crescimento a ao ano.
Passo 2
Entendendo o modelo de crescimento anual (a ideia passo a passo).
Quando uma população cresce a uma taxa fixa de por ano (em porcentagem anual composta), cada ano a população é multiplicada por um fator
. Se chamarmos a população no ano
de
, então vale a relação de recorrência:
Quando uma população cresce a uma taxa fixa de
Explicando:
é a população no ano
;
é a taxa decimal (por exemplo
para
). O termo
é o aumento absoluto no ano, e somando a
dá
.
Passo 3
Passando da recorrência para a fórmula fechada.
Aplicando a relação ano a ano vezes, obtemos a fórmula geral do crescimento composto:
Aplicando a relação ano a ano
onde:
-
é a população inicial (no ano base, aqui ), -
é a taxa decimal por ano, -
é o número de anos transcorridos desde o ano inicial, -
é a população após anos.
No nosso caso temos, e . Então:
Passo 4
Calcular o fator de crescimento
passo a passo (sem pular etapas).
Primeiro:
Primeiro:
Depois:
Fazendo a multiplicação:
Portanto o fator composto em
anos é
.
Passo 5
Aplicar o fator à população inicial e calcular o valor numérico (contas mostradas):
Separando a multiplicação:
Calculemos a parte do aumento:
Somando:
Assim, após
anos obtemos
habitantes (valor teórico com casas decimais).
Passo 6
Interpretação e arredondamento final (o que faz sentido para número de habitantes).
População deve ser dada em número inteiro de pessoas. A melhor aproximação inteira é obtida arredondando para o inteiro mais próximo. Vou fornecer somente o resultado final na seção indicada.
População deve ser dada em número inteiro de pessoas. A melhor aproximação inteira é obtida arredondando
Resposta
131127