Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, sāo múltiplos de 13?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múltiplos de 13?”
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Números de 3 algarismos positivos são exatamente os inteiros de 100 até 999, inclusive.
  • Queremos contar quantos desses são múltiplos de 13.
  • Um número é múltiplo de 13 quando pode ser escrito como 13k com k inteiro.

Passo 2

Estratégia / ideia matemática: representar os múltiplos de 13 como 13k e exigir que caiam no intervalo de três algarismos. Assim devemos achar todos os inteiros k tais que
100 \le 13k \le 999.
Dividindo toda a desigualdade por 13 obtemos
\frac{100}{13} \le k \le \frac{999}{13}.
Como k precisa ser inteiro, vamos encontrar o menor inteiro k maior ou igual a \dfrac{100}{13} e o maior inteiro k menor ou igual a \dfrac{999}{13}.

Passo 3

Calcular o menor k inteiro com 13k\ge100. Fazendo multiplicações simples para não usar calculadora:
13\cdot7=91<100,\qquad 13\cdot8=104\ge100.
Portanto o menor k possível é k_{\min}=8 e o menor múltiplo de 13 com três algarismos é 13\cdot8=104.

Passo 4

Calcular o maior k inteiro com 13k\le999. Novamente multiplicando:
13\cdot76=13\cdot(70+6)=910+78=988\le999,
13\cdot77=988+13=1001>999.
Logo o maior k possível é k_{\max}=76 e o maior múltiplo de 13 com três algarismos é 13\cdot76=988.

Passo 5

Contagem dos valores de k: os inteiros k válidos formam uma progressão inteira de 8 até 76. O número de termos de uma sequência inteira de k_{\min} até k_{\max} é
k_{\max}-k_{\min}+1.
Substituindo os valores:
76-8+1=69.
Portanto existem 69 números de três algarismos que são múltiplos de 13.

Resposta

69

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