Determine o número de termos da progressāo
compreendidos entre 100 e 1000.
10)
10)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos. A progressão dada é
. O enunciado quer: determinar quantos termos dessa progressão estão compreendidos entre
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Primeiro termo:
. - Os termos seguintes formam a sequência
, portanto é uma progressão geométrica com razão . - Queremos contar os termos tais que o valor do termo satisfaça
(os extremos e não são termos da sequência, então a questão de inclusão/exclusão não altera o resultado aqui).
Passo 2
Lembrete didático: numa progressão geométrica (PG) com primeiro termo
e razão
, o
-ésimo termo
é dado pela fórmula
Aqui:
-
é o valor do termo de posição ; -
é o primeiro termo (aqui ); -
é a razão da PG (aqui ); -
é um número natural ( ).
Usaremos essa fórmula para caracterizar os termos e determinar para quaiso termo fica entre e .
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula do termo geral, obtemos
Queremos os
tais que
logo
Passo 4
Para resolver a desigualdade envolvendo potência, aplicamos
(qualquer base maior que
serve; uso
base
por praticidade). Como
é crescente, preserva desigualdades, então:
Usando a propriedade
, fica
Passo 5
Agora isolamos
. Como
, dividimos todas as partes por
:
Calculando os logaritmos em base
:
e
. E
. Substituindo:
ou seja (aproximando),
Passo 6
Agora interpretamos essa desigualdade para
ser inteiro (pois
é natural). Os inteiros que satisfazem
são
e
. Isso corresponde a
e
. Portanto há dois índices
que produzem termos no intervalo pedido.
Passo 7
Para ficar bem concreto e fácil de checar na prova, é ótimo listar alguns termos da sequência até ultrapassar
:
Desses, os que estão entre
e
são
e
. São exatamente dois termos.
Passo 8
Resumo/estratégia para a prova (dica rápida): para PGs com razão
e primeiro termo positivo, pode-se ou (a) listar termos até passar o intervalo (rápido quando
é grande), ou (b) usar a desigualdade com o termo geral
e resolver com logaritmos para encontrar o intervalo de
(mais elegante e geral).
Resposta
2