Determine o número de termos da progressāo (1,3,9, \ldots) compreendidos entre 100 e 1000.
10)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos. A progressão dada é (1,3,9,\ldots). O enunciado quer: determinar quantos termos dessa progressão estão compreendidos entre 100 e 1000.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro termo: a_1=1.
  • Os termos seguintes formam a sequência 1,3,9,\ldots, portanto é uma progressão geométrica com razão r=3.
  • Queremos contar os termos tais que o valor do termo satisfaça 100<\text{termo}<1000 (os extremos 100 e 1000 não são termos da sequência, então a questão de inclusão/exclusão não altera o resultado aqui).

Passo 2

Lembrete didático: numa progressão geométrica (PG) com primeiro termo a_1 e razão r, o n-ésimo termo a_n é dado pela fórmula
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui:
  • a_n é o valor do termo de posição n;
  • a_1 é o primeiro termo (aqui a_1=1);
  • r é a razão da PG (aqui r=3);
  • n é um número natural ( n=1,2,3,\ldots).
    Usaremos essa fórmula para caracterizar os termos e determinar para quais n o termo fica entre 100 e 1000.

Passo 3

Substituindo a_1=1 e r=3 na fórmula do termo geral, obtemos
a_n = 1\cdot 3^{\,n-1}=3^{\,n-1}.
Queremos os n tais que
100 < a_n < 1000,
logo
100 < 3^{\,n-1} < 1000.

Passo 4

Para resolver a desigualdade envolvendo potência, aplicamos \log (qualquer base maior que 1 serve; uso \log base 10 por praticidade). Como \log é crescente, preserva desigualdades, então:
\log(100) < \log\bigl(3^{\,n-1}\bigr) < \log(1000).
Usando a propriedade \log(a^b)=b\log(a), fica
\log(100) < (n-1)\log(3) < \log(1000).

Passo 5

Agora isolamos n-1. Como \log(3)>0, dividimos todas as partes por \log(3):
\frac{\log(100)}{\log(3)} < n-1 < \frac{\log(1000)}{\log(3)}.
Calculando os logaritmos em base 10: \log(100)=2 e \log(1000)=3. E \log(3)\approx 0,4771212547. Substituindo:
\frac{2}{0,4771212547}\;<\;n-1\;<\;\frac{3}{0,4771212547},
ou seja (aproximando),
4,1918\;<\;n-1\;<\;6,2877.

Passo 6

Agora interpretamos essa desigualdade para n-1 ser inteiro (pois n é natural). Os inteiros que satisfazem 4,1918< n-1 <6,2877 são n-1=5 e n-1=6. Isso corresponde a n=6 e n=7. Portanto há dois índices n que produzem termos no intervalo pedido.

Passo 7

Para ficar bem concreto e fácil de checar na prova, é ótimo listar alguns termos da sequência até ultrapassar 1000:
a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_3=9,\quad a_4=27,\quad a_5=81,\quad a_6=243,\quad a_7=729,\quad a_8=2187.
Desses, os que estão entre 100 e 1000 são a_6=243 e a_7=729. São exatamente dois termos.

Passo 8

Resumo/estratégia para a prova (dica rápida): para PGs com razão r>1 e primeiro termo positivo, pode-se ou (a) listar termos até passar o intervalo (rápido quando r é grande), ou (b) usar a desigualdade com o termo geral a_n=a_1r^{n-1} e resolver com logaritmos para encontrar o intervalo de n (mais elegante e geral).

Resposta

2

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