Sabendo-se que T(x, y)=2 y+3 x^2-2 x+4 representa a temperatura T , em ^circ C, do ponto (x, y) de uma chapa plana, pede-se:
a) A temperatura do ponto (4,-16)
b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (4,-16). Represente-a no plano x 0 y.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo escalar de temperatura na chapa,
T(x,y)=2y+3x^2-2x+4,
e pede:
a) o valor de T no ponto (4,-16);
b) a equação da isoterma que passa por esse mesmo ponto no plano xOy.
Para resolver, vamos primeiro avaliar T em (4,-16) e depois usar a definição de isoterma, que é a curva de nível
T(x,y)=constante

Passo 2

Para calcular a temperatura em (4,-16), substituímos x=4 e y=-16 em
T(x,y)=2y+3x^2-2x+4
Fazendo a conta:
T(4,-16)=2cdot(-16)+3cdot4^2-2cdot4+4=-32+48-8+4=12

Passo 3

A isoterma que passa por (4,-16) é o conjunto de pontos (x,y) que satisfaz
T(x,y)=T(4,-16)=12
Logo a equação é
2y+3x^2-2x+4=12

Passo 4

Basta isolar y. Subtraindo 12 de ambos os lados e dividindo por 2:
2y=12-3x^2+2x-4=-3x^2+2x+8
y=-tfrac32x^2+x+4
Isso mostra que a isoterma é uma parábola no plano xOy, com concavidade para baixo.

Resposta

(a) T(4,-16)=12.
(b) A isoterma é dada por
y=-32x^2+x+4

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