Questão 3: Uma lata cilíndrica, construída com chapas de alumínio, deve ter capacidade para armazenar 2 litros de água. Determine as dimensões da lata que utiliza a menor quantidade de alumínio para os casos em que: (i) a lata deve ter fundo e tampa; e (ii) a lata deve ter apenas fundo, ficando aberta em cima.

Passo 1

O enunciado pede uma lata cilíndrica de volume fixo V=2,L=2000,cm^3 e quer minimizar a área de alumínio usada. Vamos chamar de r o raio da base e de h a altura. Em ambos os casos usamos a restrição de volume
pi r^2 h = V
para escrever h em função de r e então minimizar a área total por derivação.

Passo 2

Caso (i): lata fechada em cima e embaixo. A área é
A(r,h)=2pi r^2 + 2pi r h
Usando h=Vpi r^2, obtemos
A(r)=2pi r^2 + 2pi rcdotVpi r^2=2pi r^2 + 2Vr
Derivando e igualando a zero:
A'(r)=4pi r - 2Vr^2=0 Longrightarrow 4pi r^3 = 2V Longrightarrow r^3=V2pi Longrightarrow r=l(V2pir)^1/3
Então
h=Vpi r^2 =Vpil(V2pir)^2/3 =2r
Substituindo V=2000:
rapproxl(tfrac20002pir)^1/3approx6,84 cm, happrox2rapprox13,68 cm

Passo 3

Caso (ii): lata aberta em cima. A área é
A(r,h)=pi r^2 + 2pi r h
Com h=Vpi r^2 vem
A(r)=pi r^2 + 2Vr
Derivando e igualando a zero:
A'(r)=2pi r - 2Vr^2=0 Longrightarrow pi r^3 = V Longrightarrow r=l(Vpir)^1/3
E
h=Vpi r^2 =Vpil(Vpir)^2/3 =r
Substituindo V=2000:
rapproxl(tfrac2000pir)^1/3approx8,61 cm, happrox rapprox 8,61 cm

Resposta

(i) Para a lata fechada:
rapprox6,84 cm,;happrox13,68 cm
(ii) Para a lata aberta:
rapprox8,61 cm,;happrox8,61 cm

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