Questão 3: Uma lata cilíndrica, construída com chapas de alumínio, deve ter capacidade para armazenar 2 litros de água. Determine as dimensões da lata que utiliza a menor quantidade de alumínio para os casos em que: (i) a lata deve ter fundo e tampa; e (ii) a lata deve ter apenas fundo, ficando aberta em cima.
Passo 1
O enunciado pede uma lata cilíndrica de volume fixo
e quer minimizar a área de alumínio usada. Vamos chamar de
o raio da base e de
a altura. Em ambos os casos usamos a restrição de volume
para escrever
em função de
e então minimizar a área total por derivação.
Passo 2
Caso (i): lata fechada em cima e embaixo. A área é
Usando
, obtemos
Derivando e igualando a zero:
Então
Substituindo
:
Passo 3
Caso (ii): lata aberta em cima. A área é
Com
vem
Derivando e igualando a zero:
E
Substituindo
:
Resposta
(i) Para a lata fechada:
(ii) Para a lata aberta:
(ii) Para a lata aberta: