Sabendo que o resto da divisio de un inteiro b por 7 é 5, calcular o resto da divisáo por 7 dos seguintes números:
3 b+7

Passo 1

O enunciado dá a informação seguinte e faz a pergunta:
  • Dado um inteiro b, o resto da divisão de b por 7 é 5.
  • Pede-se: qual é o resto da divisão por 7 do número 3b+7?
Estas são as únicas informações fornecidas.

Passo 2

Explicação do conceito de resto (para garantir que estamos na mesma página).
Quando se diz que o resto da divisão de um inteiro x por 7 é r, isso significa que existem inteiros q e r tais que
x = 7q + r,
com 0 \le r \le 6.
Aqui, q é o quociente (um inteiro qualquer) e r é o resto (um número entre 0 e 6, inclusive).

Passo 3

Aplicando esse conceito ao dado do problema: se o resto de b por 7 é 5, então existe um inteiro k tal que
b = 7k + 5.
Aqui k representa o quociente inteiro da divisão de b por 7.

Passo 4

Substitui-se b na expressão 3b+7 e faz-se a álgebra passo a passo:
3b+7 = 3(7k+5)+7.
Agora distribui-se o 3:
3b+7 = 21k + 15 + 7.
Em seguida soma-se 15+7:
3b+7 = 21k + 22.

Passo 5

Reescreve-se 21k+22 de forma a evidenciar um múltiplo de 7 mais um resto:
21k + 22 = 21k + 21 + 1 = 7(3k+3) + 1.
Note que 3k+3 é um inteiro (porque k é inteiro), logo 3b+7 está escrito na forma 7\ell + 1 com \ell = 3k+3 inteiro.

Passo 6

Comentário alternativo (método dos restos/congruências) — para fixar a ideia: como b deixa resto 5 por 7, escrevemos b \equiv 5 \pmod{7}. Então
3b+7 \equiv 3\cdot 5 + 7 \equiv 15 + 7 \pmod{7}.
Como 7\equiv 0\pmod{7} e 15 \equiv 1\pmod{7}, obtém-se 3b+7 \equiv 1 \pmod{7}. Um exemplo numérico para checar: se b=12 (porque 12 deixa resto 5 ao dividir por 7), então 3b+7 = 43 e 43 deixa resto 1 ao dividir por 7.

Resposta

1

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