Mostrar que se
entāo
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Foi dada a informação de que
.
O objetivo é provar que .
Vou trabalhar com para denotar o máximo divisor comum (MDC) de
e
.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que se sabe e o que precisa ser mostrado.
O objetivo é provar que
Vou trabalhar com
Não começo a resolver ainda; só organizei o que se sabe e o que precisa ser mostrado.
Passo 2
Lembrando definições e uma ferramenta chave (explicada de forma simples).
- Definição:
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . Em particular, se então e , e qualquer outro inteiro que divide e também divide . - Identidade de Bézout (caso importante): se
então existem inteiros e tais que . Isso vem do algoritmo de Euclides; aqui vou usar apenas o fato: se dois inteiros são coprimos então há combinação linear inteira que gera .
Passo 3
Defino dois números para comparar os MDCs:
Primeiro mostro que
divide
. Explicação passo a passo: como
temos
e
. Daí
(pois se divide
divide
vezes
). Portanto
divide tanto
quanto
, ou seja,
é um divisor comum de
e
. Pelo fato de
ser o maior divisor comum de
e
, qualquer divisor comum (como
) divide
. Concluímos
Passo 4
Agora mostro que
divide
. Para isso uso a hipótese
e a identidade de Bézout. Como
, existem inteiros
e
tais que
Multiplico essa igualdade por
:
Agora observe: por definição
divide
e também divide
. Então
divide
(porque divide
) e divide
(porque divide
). Assim
divide a soma
, isto é,
. Juntando com
(já que
divide
por definição), obtemos que
divide ambos
e
. Como
é o maior divisor comum de
e
, qualquer divisor comum (como
) deve dividir
. Portanto
Passo 5
Combinando os dois resultados: de
Passo 6
ou seja
Passo 7
Exemplo numérico rápido para consolidar a ideia (só para ver que funciona): tome
,
,
. Aqui
. Calcula-se
e
. São iguais, conforme o enunciado.