Mostrar que se (a, c)=1 entāo (a, b c)=(a, b).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Foi dada a informação de que (a,c)=1.
O objetivo é provar que (a,bc)=(a,b).
Vou trabalhar com (x,y) para denotar o máximo divisor comum (MDC) de x e y.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que se sabe e o que precisa ser mostrado.

Passo 2

Lembrando definições e uma ferramenta chave (explicada de forma simples).
  • Definição: (x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Em particular, se d=(x,y) então d\mid x e d\mid y, e qualquer outro inteiro que divide x e y também divide d.
  • Identidade de Bézout (caso importante): se (x,y)=1 então existem inteiros u e v tais que u x + v y = 1. Isso vem do algoritmo de Euclides; aqui vou usar apenas o fato: se dois inteiros são coprimos então há combinação linear inteira que gera 1.

Passo 3

Defino dois números para comparar os MDCs:
d := (a,b),\qquad g := (a,bc).
Primeiro mostro que d divide g. Explicação passo a passo: como d=(a,b) temos d\mid a e d\mid b. Daí d\mid bc (pois se divide b divide b vezes c). Portanto d divide tanto a quanto bc, ou seja, d é um divisor comum de a e bc. Pelo fato de g ser o maior divisor comum de a e bc, qualquer divisor comum (como d) divide g. Concluímos
d \mid g.

Passo 4

Agora mostro que g divide d. Para isso uso a hipótese (a,c)=1 e a identidade de Bézout. Como (a,c)=1, existem inteiros x e y tais que
x a + y c = 1.
Multiplico essa igualdade por b:
x a b + y b c = b.
Agora observe: por definição g=(a,bc) divide a e também divide bc. Então g divide x a b (porque divide a) e divide y b c (porque divide bc). Assim g divide a soma x a b + y b c, isto é, g\mid b. Juntando com g\mid a (já que g divide a por definição), obtemos que g divide ambos a e b. Como d=(a,b) é o maior divisor comum de a e b, qualquer divisor comum (como g) deve dividir d. Portanto
g \mid d.

Passo 5

Combinando os dois resultados: de

Passo 6

g = d,
ou seja
(a,bc) = (a,b).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para consolidar a ideia (só para ver que funciona): tome a=6, b=10, c=5. Aqui (a,c)=(6,5)=1. Calcula-se (a,b)=(6,10)=2 e (a,bc)=(6,50)=2. São iguais, conforme o enunciado.

Resposta

(a,bc)=(a,b)

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