Resolva o PVI: y^{\prime}-y=-y^{3}, \quad y(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Dica: Esta é uma equação de Bernoulli com n=3. Faça a substituição w=y^{1-n}=y^{-2} para linearizar a equação; o PVI resultante em w é linear de primeira ordem. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
y'(x)-y(x)=-y(x)^3,\qquad y(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
As tarefas pedidas são:
  • Resolver explicitamente a equação e apresentar y=y(x) quando possível.
  • Verificar que a condição inicial é satisfeita.
  • Verificar existência e unicidade de solução.
  • Identificar a priori o(s) tipo(s) da equação (sem resolver nesta etapa).

Passo 2

Identificação do tipo de equação e escolha do método. Reescrevendo a equação em forma padrão:
y'(x)+\underbrace{(-1)}_{P(x)}\,y(x)=\underbrace{(-1)}_{Q(x)}\,y(x)^3.
Isto é uma equação de Bernoulli do tipo
y'+P(x)y=Q(x)y^n
com n=3, P(x)=-1 e Q(x)=-1. A dica sugere usar a substituição
w=y^{1-n}=y^{-2}.
Vou aplicar essa substituição para transformar a equação em uma linear de primeira ordem em w.

Passo 3

Derivar a relação entre w e y. Definindo \,w(x)=y(x)^{-2}\,, temos, usando derivada por cadeia,
w'(x)=\frac{d}{dx}\big(y^{-2}\big)=-2y^{-3}y'.
Agora uso a equação original para substituir y'. Da equação original segue
y'=y-y^3.
Substituindo em w':
w'=-2y^{-3}\big(y-y^3\big)=-2y^{-2}+2=-2w+2.
Portanto obtivemos a equação linear em w:
w'(x)+2w(x)=2.

Passo 4

Resolver a equação linear \,w'+2w=2. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\big(w e^{2x}\big)'=2e^{2x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
w(x)e^{2x}=\int 2e^{2x}\,dx = e^{2x}+C,
onde C é constante de integração. Assim
w(x)=1+Ce^{-2x}.

Passo 5

Voltar para y através da substituição w=y^{-2}. Temos
y(x)^{-2}=1+Ce^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad y(x)=\pm\big(1+Ce^{-2x}\big)^{-1/2}.
Escolhe-se o sinal de acordo com a condição inicial. Calcule w(0) a partir de y(0): como y(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}},
w(0)=y(0)^{-2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-2}=2.
Da expressão w(0)=1+C e^{0}=1+C segue 1+C=2, logo C=1. Portanto
w(x)=1+e^{-2x}
e
y(x)=\pm\big(1+e^{-2x}\big)^{-1/2}.
Como y(0)=1/\sqrt{2}>0, escolhemos o sinal positivo. Assim a solução obtida é
y(x)=\big(1+e^{-2x}\big)^{-1/2}.

Passo 6

Verificação direta de que y(x) satisfaz a equação diferencial. Calcule y'(x):
y(x)=\big(1+e^{-2x}\big)^{-1/2}\quad\Rightarrow\quad y'(x)=-\tfrac{1}{2}\big(1+e^{-2x}\big)^{-3/2}\cdot(-2e^{-2x})=\frac{e^{-2x}}{\big(1+e^{-2x}\big)^{3/2}}.
Agora calcule y-y^3:
y-y^3=\big(1+e^{-2x}\big)^{-1/2}-\big(1+e^{-2x}\big)^{-3/2} =\frac{(1+e^{-2x})-1}{\big(1+e^{-2x}\big)^{3/2}} =\frac{e^{-2x}}{\big(1+e^{-2x}\big)^{3/2}}.
Portanto y'(x)=y(x)-y(x)^3, o que é equivalente à forma original y'-y=-y^3. Além disso y(0)=(1+e^{0})^{-1/2}=(1+1)^{-1/2}=1/\sqrt{2}, logo a condição inicial é satisfeita.

Passo 7

Discussão de existência e unicidade. A equação pode ser escrita como y'=f(x,y) com
f(x,y)=y-y^3.
A função f é contínua em (x,y) e possui derivada parcial em y,
\frac{\partial f}{\partial y}=1-3y^2,
que é contínua para todos y. Pela teoria de Cauchy–Lipschitz (Picard–Lindelöf), f é localmente Lipschitz em y e, portanto, para toda condição inicial existe uma única solução local. Como aqui encontramos explicitamente uma solução definida para todo x\in\mathbb{R} (ela é contínua e limitada: 0<y(x)<1 para todo x), conclui-se que a solução é global e única no eixo real.

Passo 8

Resumo do procedimento didático (como aplicar na prova):
  • Reconhecer a forma de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^n.
  • Fazer a substituição w=y^{1-n} (aqui w=y^{-2}).
  • Usar w'=(1-n)y^{-n}y' ou derivar diretamente para obter uma equação linear em w.
  • Resolver a linear por fator integrante.
  • Voltar a y, escolher o sinal compatível com a condição inicial e determinar constantes.
  • Verificar por substituição e comentar existência/uniquidade usando continuidade de f e \partial f/\partial y.

Resposta

y(x)=\big(1+e^{-2x}\big)^{-1/2}.

Exercícios relacionados