Resolva o PVI: y^{\prime}-y=-y^{3}, \quad y(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Dica: Esta é uma equação de Bernoulli com n=3. Faça a substituição w=y^{1-n}=y^{-2} para linearizar a equação; o PVI resultante em w é linear de primeira ordem. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
Portanto y'(x)=y(x)-y(x)^3, o que é equivalente à forma original y'-y=-y^3. Além disso y(0)=(1+e^{0})^{-1/2}=(1+1)^{-1/2}=1/\sqrt{2}, logo a condição inicial é satisfeita.
Passo 7
Discussão de existência e unicidade. A equação pode ser escrita como y'=f(x,y) com
f(x,y)=y-y^3.
A função f é contínua em (x,y) e possui derivada parcial em y,
\frac{\partial f}{\partial y}=1-3y^2,
que é contínua para todos y. Pela teoria de Cauchy–Lipschitz (Picard–Lindelöf), f é localmente Lipschitz em y e, portanto, para toda condição inicial existe uma única solução local. Como aqui encontramos explicitamente uma solução definida para todo x\in\mathbb{R} (ela é contínua e limitada: 0<y(x)<1 para todo x), conclui-se que a solução é global e única no eixo real.
Passo 8
Resumo do procedimento didático (como aplicar na prova):
Reconhecer a forma de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^n.
Fazer a substituição w=y^{1-n} (aqui w=y^{-2}).
Usar w'=(1-n)y^{-n}y' ou derivar diretamente para obter uma equação linear em w.
Resolver a linear por fator integrante.
Voltar a y, escolher o sinal compatível com a condição inicial e determinar constantes.
Verificar por substituição e comentar existência/uniquidade usando continuidade de f e \partial f/\partial y.