Sabendo os seguintes produtos notáveis:
a) Quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
“quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo”
b) Quadrado da diferença:
(a-b)^{2}=\underbrace{a^{2}-2 a b+b^{2}}
“quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo”
c) Produto da soma pela diferença: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
Aplique as regras dos produtos notáveis:
(x-2)^{2}=(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \quad a=x \quad b=2 \quad(x-2)^{2}=x^{2}-2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = x^{2}-4 x+4

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado:
  • Pede-se aplicar os produtos notáveis para expandir a expressão (x-2)^{2}.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • Fórmula do quadrado da diferença: (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
    • A expressão a expandir é (x-2)^{2}.

Passo 2

Entendendo a fórmula do quadrado da diferença de forma simples:
  • A fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} significa que, ao elevar a diferença entre dois termos ao quadrado, obtemos três parcelas:
    1. O quadrado do primeiro termo: a^{2}.
    2. Menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo: -2ab.
    3. Mais o quadrado do segundo termo: b^{2}.
  • Por que isso vale? Porque (a-b)^{2}=(a-b)(a-b). Ao multiplicar os dois binômios (FOIL — primeiro, externo, interno, último) obtemos exatamente essas três parcelas: a\cdot a, a\cdot(-b) e (-b)\cdot a se somam para -2ab, e (-b)\cdot(-b)=b^{2}.

Passo 3

Substituição dos termos da expressão na fórmula:
  • Aqui a=x e b=2. Substituindo em (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} obtemos:
(x-2)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2 + 2^{2}

Passo 4

Calcular cada parcela de forma detalhada:
  • A primeira parcela: x^{2} (já está na forma final).
  • A segunda parcela: -2\cdot x\cdot 2. Primeiro multiplicar os números: -2\cdot 2 = -4. Assim essa parcela vira -4x.
  • A terceira parcela: 2^{2}=4.
  • Juntando as parcelas (sem repetir a linha final ainda), as partes são: x^{2}, -4x e 4.

Passo 5

Checagem alternativa pelo método FOIL (para confirmar passo a passo):
  • Escrever (x-2)^{2} = (x-2)(x-2).
  • Multiplicando termo a termo:
    • primeiro: x\cdot x = x^{2},
    • externo: x\cdot(-2) = -2x,
    • interno: (-2)\cdot x = -2x,
    • último: (-2)\cdot(-2)=4.
  • Somando: x^{2} + (-2x) + (-2x) + 4 = x^{2} -4x +4.

Passo 6

Dica prática para a prova (como reconhecer e usar rápido):
  • Sempre identifique a e b. Se for (\text{algo} \pm \text{algo})^{2} já aplica a fórmula.
  • Lembre-se do padrão: + no meio dá +2ab; - no meio dá -2ab.
  • Exemplos rápidos para treinar mentalmente:
    • (x+3)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 3 + 3^{2}=x^{2}+6x+9.
    • (2y-5)^{2}=(2y)^{2}-2\cdot(2y)\cdot5+5^{2}=4y^{2}-20y+25.

Resposta

x^{2}-4x+4

Exercícios relacionados