Sabendo que \int_{-2}^{1} f(t) d t=-3 e \int_{0}^{1} f(x) d x=9 calcule \int_{-2}^{0} f(y) d y.

Passo 1

O enunciado nos dá duas integrais definidas e pede uma terceira. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (repare que peguei os números direto do enunciado).
  • Dado 1: \displaystyle \int_{-2}^{1} f(t)\,dt = -3.
  • Dado 2: \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 9.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{-2}^{0} f(y)\,dy.
Observação importante sobre a notação: t, x e y são variáveis “coringa” (variáveis dummy) dentro da integral — elas só indicam a variável de integração. Todas as três integrais referem-se à mesma função f em intervalos diferentes.

Passo 2

Apresento a propriedade de aditividade dos integrais definidos — a ferramenta principal aqui — e explico o que cada símbolo significa.
Propriedade (aditividade em intervalos): para qualquer função integrável f e quaisquer números reais a\le c\le b vale
\int_{a}^{b} f(s)\,ds \;=\; \int_{a}^{c} f(s)\,ds \;+\; \int_{c}^{b} f(s)\,ds.
O que isso diz, em palavras simples: a integral definida \int_{a}^{b} f representa a soma (área algébrica) de f entre a e b. Se eu cortar o intervalo [a,b] em dois pedaços [a,c] e [c,b], a integral total é a soma das integrais sobre esses pedaços.
Explicação intuitiva do porquê: usando a definição de Riemann, a soma aproximada da área em [a,b] pode ser vista como a soma das somas aproximadas em [a,c] e em [c,b]. No limite, as somas se somam, dando a igualdade acima.
Aqui s é só uma variável genérica de integração na formula; poderia ser t, x ou y — isso não altera o valor da integral.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: escolha a=-2, c=0 e b=1. Então
\int_{-2}^{1} f(u)\,du \;=\; \int_{-2}^{0} f(u)\,du \;+\; \int_{0}^{1} f(u)\,du.
Novamente, u é uma variável de integração genérica (poderia ser t,x ou y); a igualdade vale independentemente da letra usada.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado nos deu na igualdade do passo anterior. Temos
-3 \;=\; \int_{-2}^{0} f(u)\,du \;+\; 9,
pois \displaystyle \int_{-2}^{1} f(u)\,du = -3 (dado) e \displaystyle \int_{0}^{1} f(u)\,du = 9 (dado).

Passo 5

Isolamos a integral que queremos. Subtraindo 9 dos dois lados:
\int_{-2}^{0} f(u)\,du \;=\; -3 - 9 \;=\; -12.
Essa é a resposta final: a integral de -2 a 0 da função f vale -12.

Resposta

-12

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