Sabendo que
e
calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas integrais definidas e pede uma terceira. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (repare que peguei os números direto do enunciado).
- Dado 1:
. - Dado 2:
.
O que se pede: calcular
.
Observação importante sobre a notação:
,
e
são variáveis “coringa” (variáveis dummy) dentro da integral — elas só indicam a variável de integração. Todas as três integrais referem-se à mesma função
em intervalos diferentes.
Passo 2
Apresento a propriedade de aditividade dos integrais definidos — a ferramenta principal aqui — e explico o que cada símbolo significa.
Propriedade (aditividade em intervalos): para qualquer função integrável
e quaisquer números reais
vale
O que isso diz, em palavras simples: a integral definida
representa a soma (área algébrica) de
entre
e
. Se eu cortar o intervalo
em dois pedaços
e
, a integral total é a soma das integrais sobre esses pedaços.
Explicação intuitiva do porquê: usando a definição de Riemann, a soma aproximada da área em
pode ser vista como a soma das somas aproximadas em
e em
. No limite, as somas se somam, dando a igualdade acima.
Aqui
é só uma variável genérica de integração na formula; poderia ser
,
ou
— isso não altera o valor da integral.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: escolha
,
e
. Então
Novamente,
é uma variável de integração genérica (poderia ser
ou
); a igualdade vale independentemente da letra usada.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado nos deu na igualdade do passo anterior. Temos
pois
(dado) e
(dado).
Passo 5
Isolamos a integral que queremos. Subtraindo
dos dois lados:
Essa é a resposta final: a integral de
a
da função
vale
.